Exercice 1 : Équilibre de Hardy-Weinberg

CONCOURS BCPST — ÉPREUVE DE SVT

Génétique évolutive et modélisation statistique : Test de l’équilibre de Hardy-Weinberg

ÉNONCÉ DU PROBLÈME

La modélisation mathématique en génétique des populations constitue un outil fondamental pour comprendre la dynamique évolutive des espèces. Le modèle de Hardy-Weinberg fournit une situation nulle (ou modèle nul) de référence, caractérisée par l’absence d’évolution des fréquences alléliques et génotypiques d’une génération à l’autre au sein d’une population idéale.

On s’intéresse ici à une population sauvage d’un petit mammifère, le campagnol roussâtre (Myodes glareolus), étudiée dans le cadre d’un suivi écologique à long terme dans une forêt tempérée. Un écologue souhaite analyser la structure génétique de cette population pour un locus autosomique $A$ possédant deux allèles codominants, notés $A_1$ et $A_2$ .

L’échantillonnage réalisé sur $N = 1000$ individus adultes capturés, marqués puis relâchés, donne la répartition phénotypique et génotypique suivante :

Génotype $A_1A_1$ : $360$ individus
Génotype $A_1A_2$ : $480$ individus
Génotype $A_2A_2$ : $160$ individus

L’objectif de ce problème est de tester statistiquement l’adéquation de ces données au modèle de Hardy-Weinberg, d’analyser les forces évolutives susceptibles d’expliquer les écarts constatés, et de discuter de la rigueur biologique des hypothèses sous-jacentes.

QUESTIONS

Rappels et formalisme du modèle a. Énoncer les cinq hypothèses fondamentales requises pour qu’une population soit en équilibre de Hardy-Weinberg. b. En notant $p$ la fréquence de l’allèle $A_1$ et $q$ la fréquence de l’allèle $A_2$ , exprimer les fréquences génotypiques attendues sous l’hypothèse de Hardy-Weinberg en fonction de $p$ et $q$ .
Estimation des paramètres et application numérique a. Calculer les fréquences alléliques empiriques $p$ et $q$ observées dans l’échantillon de $1000$ individus. Détailler le calcul. b. À partir de ces estimations, calculer les effectifs théoriques (attendus) de chaque génotype si la population était à l’équilibre de Hardy-Weinberg.
Test statistique d’adéquation ( $\chi^2$ ) a. Rappeler la formule statistique du test du $\chi^2$ d’ajustement. b. En utilisant les valeurs observées et théoriques, calculer la valeur de la statistique du $\chi^2$ . c. En sachant que pour $1$ degré de liberté, le seuil critique de la table du $\chi^2$ au risque $\alpha = 5\%$ est de $3{,}84$ , conclure quant à l’adéquation de la population à l’équilibre.
Analyse critique et limites biologiques a. Parmi les hypothèses du modèle listées à la question 1.a, laquelle ou lesquelles sont presque systématiquement violées dans les populations naturelles de mammifères ? Justifier brièvement. b. Le taux de consanguinité $F$ (coefficient de fixation de Wright) au sein de cette population est estimé à $+0{,}10$ . Quel impact qualitatif et quantitatif cela a-t-il sur les fréquences des hétérozygotes par rapport aux prédictions de Hardy-Weinberg ?

PISTES DE RÉFLEXION POUR L’ÉTUDIANT

Pour la question 2.a : Pensez à relier le nombre d’allèles de chaque type dans l’échantillon au nombre total d’allèles (rappel : les individus sont diploïdes, donc un échantillon de $N$ individus représente $2N$ allèles par locus).
Pour la question 3.b : Organisez vos calculs sous forme de tableau (Classes, Effectifs observés $O$ , Effectifs théoriques $T$ , $\frac{(O-T)^2}{T}$ ).
Pour la question 4.b : Rappelez la formule de l’excès ou du déficit d’hétérozygotes en fonction de $F$ : $H_{\text{obs}} = 2pq(1-F)$ .

CORRIGÉ PAS À PAS

1. Rappels et formalisme du modèle

1.a. Hypothèses du modèle de Hardy-Weinberg : Pour qu’une population satisfasse l’équilibre de Hardy-Weinberg, les conditions suivantes doivent être réunies :
1. Effectifs infinis (ou très grands) : Absence de dérive génétique (pas de fluctuations aléatoires d’échantillonnage).
2. Pangenèse aléatoire (Panmixie) : Les croisements se font au hasard, sans choix du partenaire (absence d’assortiment assortatif ou de consanguinité).
3. Absence de sélection naturelle : Tous les génotypes ont la même valeur sélective (fitness, $w = 1$ ).
4. Absence de flux géniques (migration) : Pas d’apport ni de perte d’allèles par des individus extérieurs.
5. Absence de mutations : Pas de conversion spontanée d’un allèle en un autre.
1.b. Fréquences génotypiques théoriques : Soit $p = f(A_1)$ et $q = f(A_2)$ avec $p + q = 1$ . Par application des lois de la probabilité de union/intersection des gamètes lors de la fécondation (tableau de Punnett) :
- Fréquence du génotype $A_1A_1$ : $P(A_1A_1) = p^2$
- Fréquence du génotype $A_1A_2$ : $P(A_1A_2) = 2pq$
- Fréquence du génotype $A_2A_2$ : $P(A_2A_2) = q^2$

2. Estimation des paramètres et application numérique

2.a. Calcul des fréquences alléliques $p$ et $q$ : L’échantillon comporte $N = 1000$ individus, soit $2N = 2000$ allèles. Le nombre total d’allèles $A_1$ est : $n(A_1) = 2 \times n(A_1A_1) + n(A_1A_2) = 2(360) + 480 = 720 + 480 = 1200\text{ allèles}$ La fréquence de l’allèle $A_1$ est donc : $p = \frac{1200}{2000} = 0{,}6$ Par conséquent, la fréquence de l’allèle $A_2$ est : $q = 1 - p = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$
2.b. Calcul des effectifs théoriques : Pour $N = 1000$ :
- Effectif théorique de $A_1A_1$ : $N \times p^2 = 1000 \times (0{,}6)^2 = 1000 \times 0{,}36 = \mathbf{360\text{ individus}}$
- Effectif théorique de $A_1A_2$ : $N \times 2pq = 1000 \times 2 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 1000 \times 0{,}48 = \mathbf{480\text{ individus}}$
- Effectif théorique de $A_2A_2$ : $N \times q^2 = 1000 \times (0{,}4)^2 = 1000 \times 0{,}16 = \mathbf{160\text{ individus}}$

Remarque remarquable : Les effectifs observés coïncident exactement avec les effectifs théoriques calculés ( $360$ , $480$ , $160$ ).

3. Test statistique d’adéquation ( $\chi^2$ )

3.a. Formule du $\chi^2$ : $\chi^2 = \sum_{\text{i}} \frac{(O_i - T_i)^2}{T_i}$ où $O_i$ représente l’effectif observé et $T_i$ l’effectif théorique pour chaque classe génotypique.
3.b. Calcul de la statistique : Puisque $O_i = T_i$ pour chaque classe génotypique : $\chi^2 = \frac{(360-360)^2}{360} + \frac{(480-480)^2}{480} + \frac{(160-160)^2}{160} = 0 + 0 + 0 = 0$
3.c. Conclusion statistique : La valeur calculée du $\chi^2$ est $0$ . Cette valeur est strictement inférieure au seuil critique $3{,}84$ au risque $\alpha = 5\%$ . On accepte l’hypothèse nulle ( $H_0$ ) d’adéquation à l’équilibre de Hardy-Weinberg. La population ne présente pas d’écart statistiquement significatif par rapport au modèle pour ce locus dans cet échantillon.

4. Analyse critique et limites biologiques

4.a. Violation des hypothèses dans la nature : Dans les populations naturelles de mammifères comme le campagnol roussâtre :
- L’hypothèse de l’effectif infini est toujours violée : les populations ont une taille finie, ce qui soumet le pool génique à la dérive génétique.
- L’hypothèse de panmixie est souvent mise en défaut en raison de la structure spatiale de la population (effet de distance, dispersion restreinte menant à de la apparentement local / consanguinité).
- La sélection naturelle s’exerce fréquemment, soit directement sur le locus étudié s’il a une valeur adaptative (métabolisme, immunité), soit indirectement par liaison génétique (effet de hitchhiking).
4.b. Impact d’un taux de consanguinité $F = +0{,}10$ : Si la population présentait un coefficient de consanguinité $F = +0{,}10$ , cela signifierait qu’il existe une probabilité accrue que les deux allèles d’un individu soient identiques par descente (issus d’un ancêtre commun récent).
- Conséquence quantitative : La fréquence des hétérozygotes est modifiée selon la relation : $H_{\text{obs}} = 2pq(1-F) = 2(0{,}6)(0{,}4)(1 - 0{,}10) = 0{,}48 \times 0{,}90 = 0{,}432$ Soit un effectif théorique d’hétérozygotes de $432$ individus au lieu de $480$ .
- Conséquence qualitative : La consanguinité engendre un déficit d’hétérozygotes et une augmentation symétrique des homozygotes ( $A_1A_1$ et $A_2A_2$ ), sans pour autant modifier les fréquences alléliques globales $p$ et $q$ à court terme.