📌 1. Définitions & Cadre d'étude

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le cadre de l’intégration au programme de MP2I est l’intégration des fonctions continues par morceaux (et plus généralement réglées) sur un segment de $\mathbb{R}$, dans le cas à valeurs réelles ou complexes.

A. Subdivisions et fonctions en escalier

Soit $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ avec $a < b$.

Subdivision: Une subdivision $\sigma$ de $[a, b]$ est une finie de points $(x_0, x_1, \dots, x_n)$ tels que : $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$

• Fonction en escalier : Une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{K}$ (avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est dite en escalier s’il existe une subdivision $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ de $[a, b]$ telle que $f$ soit constante sur chaque intervalle ouvert $]x_i, x_{i+1}[$ pour $0 \le i \le n-1$.
• Intégrale d’une fonction en escalier : Si $f$ est en escalier associée à la subdivision $\sigma$, pour tout $i \in \{0, \dots, n-1\}$, $f$ est constante de valeur $c_i$ sur $]x_i, x_{i+1}[$. L’intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est définie par : $\int_a^b f(t) \, dt = \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) c_i$ Cette valeur est indépendante de la subdivision $\sigma$ choisie.

B. Fonctions continues par morceaux

• Définition : Une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{K}$ est dite continue par morceaux s’il existe une subdivision $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ de $[a, b]$ telle que :
  1. Pour tout $i \in \{0, \dots, n-1\}$, la restriction de $f$ à $]x_i, x_{i+1}[$ se prolonge en une fonction continue sur le segment fermé $[x_i, x_{i+1}]$.
  2. $f$ admet des limites finies à droite en $x_i$ (pour $i < n$) et à gauche en $x_i$ (pour $i > 0$).
• Espace vectoriel : L’ensemble des fonctions continues par morceaux de $[a, b]$ dans $\mathbb{K}$, noté $\mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{K})$, est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.

C. Construction de l’intégrale de Riemann

Pour $f \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{R})$, on définit son intégrale par encadrement à l’aide des fonctions en escalier : $\int_a^b f(t) \, dt = \sup_{\substack{\phi \text{ en escalier} \\ \phi \le f}} \int_a^b \phi(t) \, dt = \inf_{\substack{\psi \text{ en escalier} \\ \psi \ge f}} \int_a^b \psi(t) \, dt$

Pour $f = u + iv \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{C})$, on pose : $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b u(t) \, dt + i \int_a^b v(t) \, dt$

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

A. Propriétés fondamentales de l’intégrale

Soient $f, g \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{K})$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$.

1. Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(t) + \beta g(t)) \, dt = \alpha \int_a^b f(t) \, dt + \beta \int_a^b g(t) \, dt$
2. Relation de Chasles : Soit $c \in [a, b]$, alors : $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$
3. Positivité (pour $f$ réelle) : Si $f \ge 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(t) \, dt \ge 0$.
4. Croissance : Si $f \le g$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(t) \, dt \le \int_a^b g(t) \, dt$.
5. Inégalité triangulaire (cas général) : $\left| \int_a^b f(t) \, dt \right| \le \int_a^b |f(t)| \, dt$

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B. Théorème Fondamental de l’Analyse (TFA)

Théorème : Soit $f : [a, b] \to \mathbb{K}$ une fonction continue. Pour $x \in [a, b]$, on pose : $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ Alors $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ et pour tout $x \in [a, b]$, on a $F'(x) = f(x)$. Autrement dit, $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$.

• Démonstration : Soit $x_0 \in [a, b]$ et soit $x \in [a, b]$ tel que $x \neq x_0$. Par la relation de Chasles : $F(x) - F(x_0) = \int_{x_0}^x f(t) \, dt$ On écrit alors : $F(x) - F(x_0) - f(x_0)(x - x_0) = \int_{x_0}^x f(t) \, dt - \int_{x_0}^x f(x_0) \, dt = \int_{x_0}^x (f(t) - f(x_0)) \, dt$ Soit $\varepsilon > 0$. Puisque $f$ est continue en $x_0$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $t \in [a, b]$ vérifiant $|t - x_0| \le \delta$, on a $|f(t) - f(x_0)| \le \varepsilon$. Supposons $|x - x_0| \le \delta$. Par l’inégalité triangulaire sur les intégrales : $\left| \int_{x_0}^x (f(t) - f(x_0)) \, dt \right| \le \left| \int_{x_0}^x |f(t) - f(x_0)| \, dt \right| \le \varepsilon |x - x_0|$ Ainsi, pour tout $x \neq x_0$ tel que $|x - x_0| \le \delta$ : $\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \le \varepsilon$ Cela prouve que $F$ est dérivable en $x_0$ et que $F'(x_0) = f(x_0)$. La continuité de $f$ assure alors que $F'$ est continue, donc $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$. $\blacksquare$

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C. Théorèmes de la moyenne

1. Premier théorème de la moyenne : Si $f \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{R})$, alors : $m(b-a) \le \int_a^b f(t) \, dt \le M(b-a)$ où $m = \inf_{[a,b]} f$ et $M = \sup_{[a,b]} f$.
2. Forme de la moyenne pour les fonctions continues : Si $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est continue, il existe $\mathcal{c} \in ]a, b[$ tel que : $\int_a^b f(t) \, dt = f(c)(b-a)$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

A. Primitives et intégration par parties (IPP)

• Formule fondamentale : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ : $\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a) = [F(t)]_a^b$
• Intégration par parties : Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ : $\int_a^b u(t)v'(t) \, dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t) \, dt$

B. Changement de variable (CV)

• Théorème : Soit $\phi : [\alpha, \beta] \to [a, b]$ une bijection de classe $\mathcal{C}^1$. Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors : $\int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t) \, dt$ (Attention : il faut veiller à bien inverser ou adapter les bornes selon le sens de variation de $\phi$ si l’on énonce la formule générale, ici avec $\phi(\alpha)=a$ et $\phi(\beta)=b$).

C. Sommes de Riemann

Définition / Théorème : Si $f : [a, b] \to \mathbb{K}$ est continue par morceaux, alors la suite des sommes de Riemann $S_n$ converge vers $\int_a^b f(t) \, dt$ lorsque $n \to +\infty$ : $\lim_{n \to +\infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) = \int_a^b f(t) \, dt$

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oubli de la continuité par morceaux : Ne jamais appliquer le Théorème Fondamental de l’Analyse ou les formules usuelles de primitives à des fonctions qui présentent des singularités non intégrables ou qui ne sont pas continues sur le segment.
2. Mauvais maniement du changement de variable : Oublier de transformer la différentielle ($dx = \phi'(t)dt$) ou d’adapter les bornes de l’intégrale, ce qui fausse totalement le résultat.
3. Confusion entre intégrale et primitive : $\int_a^b f(t) \, dt$ est un nombre (qui ne dépend pas de la variable muette $t$), alors que $\int_a^x f(t) \, dt$ est une fonction de la variable $x$. Écrire $\int_a^b f(x) \, dx = f(x)$ est une hérésie mathématique majeure.
4. Utilisation abusive de l’inégalité triangulaire inversée : Attention au sens des inégalités lors des majorations d’intégrales. Pour un encadrement fin, majorer la valeur absolue de l’intégrale par l’intégrale de la valeur absolue : $\left| \int_a^b f(t) \, dt \right| \le \int_a^b |f(t)| \, dt \le (b-a) \sup_{[a,b]} |f|$