Cours : Espaces euclidiens et algèbre bilinéaire

📌 1. Definitions & Cadre d’etude

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

• Forme bilineaire : Une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ est dite bilineaire si elle est lineaire par rapport a chaque variable.
• Forme bilineaire symetrique : $\varphi$ est symetrique si, pour tout $(x, y) \in E^2$, $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$.
• Forme quadratique : C’est l’application $q : E \to \mathbb{R}$ associee a une forme bilineaire symetrique $\varphi$ definie par $q(x) = \varphi(x, x)$. On a l’identite de polarisation : $\varphi(x, y) = \frac{1}{2} \left( q(x+y) - q(x) - q(y) \right)$
• Espace euclidien : C’est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, muni d’un produit scalaire, c’est-a-dire une forme bilineaire symetrique, definie positive, notee $(x \mid y)$ ou $\langle x, y \rangle$.
• Matrice d’une forme bilineaire : Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. La matrice $A \in \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ de $\varphi$ dans $\mathcal{B}$ est definie par : $A_{i,j} = \varphi(e_i, e_j)$ Si $X$ et $Y$ sont les vecteurs colonnes des coordonnees de $x$ et $y$ dans $\mathcal{B}$, alors $\varphi(x, y) = X^T A Y$.

---

📐 2. Theoremes fondamentaux & Demonstrations cles

Theoreme 1 :Inegalite de Cauchy-Schwarz

Soit $(E, (\cdot \mid \cdot))$ un espace euclidien. Pour tout $(x, y) \in E^2$ : $| (x \mid y) | \leq \|x\| \|y\|$ avec egalite si et seulement si $x$ et $y$ sont colineaires.

Demonstration : Si $y = 0$, l’inegalite est triviale. Supposons $y \neq 0$. Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, considerons le polynome du second degre en $\lambda$ : $P(\lambda) = \|x + \lambda y\|^2 = \|x\|^2 + 2\lambda (x \mid y) + \lambda^2 \|y\|^2$ Par definition d’une norme, $P(\lambda) \geq 0$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$. Le discriminant reduit $\Delta'$ de ce trinome doit donc etre negatif ou nul : $\Delta' = (x \mid y)^2 - \|x\|^2 \|y\|^2 \leq 0$ D’ou $(x \mid y)^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2$, ce qui donne le resultat en prenant la racine carree. $\blacksquare$

Theoreme 2 :Procede d’orthogonalisation de Gram-Schmidt

Toute base $(e_1, \dots, e_n)$ d’un espace euclidien $E$ peut etre transformee en une base orthonormee $(u_1, \dots, u_n)$ telle que pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$, $\text{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \text{Vect}(u_1, \dots, u_k)$.

Theoreme 3 :Reduction des formes quadratiques (Theoreme de Gauss)

Toute forme quadratique sur $E$ se decompose en une somme (ou difference) de carrees de formes lineaires independantes.

---

💡 3. Methodes de calcul & Algorithmes

Algorithme de Gauss pour la reduction des formes quadratiques

Soit $q$ une forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$.

1. Cas avec termes carres non nuls : On regroupe tous les termes contenant la premiere variable $x_1$ : $q(x_1, \dots, x_n) = a_1 x_1^2 + 2x_1 L(x_2, \dots, x_n) + q_1(x_2, \dots, x_n)$ On met sous forme canonique : $a_1 \left( x_1 + \frac{1}{a_1} L(x_2, \dots, x_n) \right)^2 - \frac{1}{a_1} (L(x_2, \dots, x_n))^2 + q_1(x_2, \dots, x_n)$
2. Cas sans terme carre : Si $q(x_1, \dots, x_n)$ ne contient pas de terme en $x_1^2$ mais contient un terme en $x_1 x_2$ (avec $a_{1,2} \neq 0$), on effectue le changement de variables de polarisation : $x_1 = y_1 + y_2 \quad \text{et} \quad x_2 = y_1 - y_2$ Ce qui fait apparaitre un terme en $y_1^2 - y_2^2$.

Calcul de l’Adjoint

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$. Il existe un unique endomorphisme note $f^* \in \mathcal{L}(E)$ tel que : $\forall (x, y) \in E^2, \quad (f(x) \mid y) = (x \mid f^*(y))$ Si $M \in \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ est la matrice de $f$ dans une base orthonormee, alors la matrice de $f^*$ est $M^T$.

---

⚠️ 4. Pieges classiques aux Concours

1. Confusion entre definitude et positivite : Une matrice symetrique dont tous les minimes principaux sont positifs (mais pas tous strictement) est seulement positive, pas necessairement definie positive. Attention aux conditions strictes du critere de Sylvester.
2. Oubli de la base orthonormee : La formule $A^T = A^{-1}$ pour la matrice d’un endomorphisme orthogonal n’est valable que si la matrice est exprimee dans une base orthonormee. Dans une base quelconque, cette relation est fausse.
3. Produit scalaire canonique vs general : Ne pas appliquer systematiquement les formules de $\mathbb{R}^n$ standard ($\sum x_i y_i$) a un espace euclidien general dont le produit scalaire est defini par une integrale ou une autre forme bilineaire.
4. Symetrie de l’adjoint : Ne pas oublier que l’existence de l’adjoint repose fondamentalement sur le fait que l’espace est de dimension finie et muni d’un produit scalaire.