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CPGE Futur

Exercice 1 : Effet photoélectrique et relation de de Broglie

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

L’objectif de ce problème est d’étudier l’interaction d’un rayonnement électromagnétique avec une surface métallique (effet photoélectrique) et de faire le lien avec la description ondulatoire de la matière introduite par Louis de Broglie.

On s’intéresse à une plaque de césium (métal dont le travail de sortie est noté WW) éclairée par un faisceau lumineux monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ\lambda. Les électrons ainsi extraits du métal sont appelés photoélectrons. Dans un second temps, on étudie les propriétés ondulatoires de ces électrons accélérés par une différence de potentiel.

Données numériques et constantes fondamentales :

  • Vitesse de la lumière dans le vide : c=3,00×108  m⋅s−1c = 3{,}00 \times 10^8 \; \text{m}\cdot\text{s}^{-1}
  • Constante de Planck : h=6,626×10−34  J⋅sh = 6{,}626 \times 10^{-34} \; \text{J}\cdot\text{s}
  • Masse de l’électron : m=9,10×10−31  kgm = 9{,}10 \times 10^{-31} \; \text{kg}
  • Charge élémentaire : e=1,60×10−19  Ce = 1{,}60 \times 10^{-19} \; \text{C}
  • Travail de sortie du césium : W=2,14  eVW = 2{,}14 \; \text{eV}

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”
  1. Établissement du bilan énergétique : Établir l’expression de l’énergie cinétique maximale Ec,maxE_{c,\text{max}} d’un photoélectron émis en fonction de la fréquence ν\nu de la lumière incidente, de la constante de Planck hh et du travail de sortie WW. En déduire la longueur d’onde seuil λs\lambda_s au-delà de laquelle aucun électron n’est émis. Faire l’application numérique pour λs\lambda_s.
  2. Mise en place d’un potentiel d’arrêt : On éclaire le césium avec une lumière de longueur d’onde λ=400  nm\lambda = 400 \; \text{nm}. Pour stopper le courant de photoélectrons, on applique une tension négative UaU_a (potentiel d’arrêt) entre la cathode (plaque de césium) et une anode collectrice. Exprimer puis calculer la valeur de UaU_a.
  3. Hypothèse de de Broglie : Rappeler la relation de de Broglie associant une longueur d’onde λdB\lambda_{\text{dB}} à une particule massive de quantité de mouvement pp.
  4. Application aux photoélectrons : Les photoélectrons émis avec l’énergie cinétique maximale précédente sont maintenant accélérés par une différence de potentiel U0=100  VU_0 = 100 \; \text{V}. Calculer leur longueur d’onde de de Broglie λdB\lambda_{\text{dB}}. Conclure quant à l’observabilité d’effets de diffraction pour ces électrons traversant un réseau cristallin dont le pas est de l’ordre du nanomètre.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Utilisez la conservation de l’énergie lors de l’absorption d’un photon unique par un électron lié. Le seuil correspond à une énergie cinétique maximale nulle.
  • Question 2 : Le potentiel d’arrêt est le potentiel minimal qu’il faut appliquer pour repousser tous les électrons, y compris ceux qui sortent avec l’énergie cinétique maximale. Appliquez le théorème de l’énergie cinétique ou un bilan énergétique.
  • Question 3 : Attention aux notations et aux domaines de valadité (relation relativiste ou classique ? Vérifiez l’ordre de grandeur de l’énergie cinétique devant l’énergie de masse mc2mc^2).
  • Question 4 : Calculez d’abord l’énergie cinétique finale après accélération, puis déduisez-en la quantité de mouvement avant d’appliquer la formule de de Broglie.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Bilan énergétique de l’effet photoélectrique et longueur d’onde seuil

Section titled “1. Bilan énergétique de l’effet photoélectrique et longueur d’onde seuil”

Lors de l’effet photoélectrique, un électron du métal absorbe un unique photon d’énergie Ephoton=hν=hcλE_{\text{photon}} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}. Pour s’extraire du métal, l’électron doit fournir un travail minimal WW. L’énergie cinétique maximale avec laquelle il émerge est donc donnée par la relation d’Einstein : Ec,max=hν−W=hcλ−WE_{c,\text{max}} = h\nu - W = \frac{hc}{\lambda} - W

L’émission photoélectrique n’est possible que si Ec,max≥0E_{c,\text{max}} \ge 0, c’est-à-dire si hcλ≥W\frac{hc}{\lambda} \ge W, soit λ≤hcW\lambda \le \frac{hc}{W}. La longueur d’onde seuil λs\lambda_s est donc : λs=hcW\lambda_s = \frac{hc}{W}

Application numérique : Convertissons d’abord WW en Joules : W=2,14×1,60×10−19=3,424×10−19  JW = 2{,}14 \times 1{,}60 \times 10^{-19} = 3{,}424 \times 10^{-19} \; \text{J} λs=6,626×10−34×3,00×1083,424×10−19≈5,81×10−7  m=581  nm\lambda_s = \frac{6{,}626 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^8}{3{,}424 \times 10^{-19}} \approx 5{,}81 \times 10^{-7} \; \text{m} = 581 \; \text{nm}

2. Calcul du potentiel d’arrêt UaU_a

Section titled “2. Calcul du potentiel d’arrêt UaU_aUa​”

Le potentiel d’arrêt UaU_a est la tension négative qu’il faut appliquer pour annuler le courant. Un électron émis avec l’énergie cinétique maximale Ec,maxE_{c,\text{max}} est stoppé si le travail de la force électrostatique parvient à annuler son énergie cinétique : −eUa=−Ec,max  ⟹  eUa=Ec,max-e U_a = -E_{c,\text{max}} \implies e U_a = E_{c,\text{max}} Soit : Ua=hceλ−WeU_a = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{W}{e}

Application numérique pour λ=400  nm\lambda = 400 \; \text{nm} :

  • Calcul de l’énergie du photon en eV : Ephoton=hceλ=6,626×10−34×3,00×1081,60×10−19×400×10−9≈3,106  eVE_{\text{photon}} = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^8}{1{,}60 \times 10^{-19} \times 400 \times 10^{-9}} \approx 3{,}106 \; \text{eV}
  • En déduire Ec,maxE_{c,\text{max}} : Ec,max=3,106−2,14=0,966  eVE_{c,\text{max}} = 3{,}106 - 2{,}14 = 0{,}966 \; \text{eV}
  • Le potentiel d’arrêt vaut donc : Ua=0,966  VU_a = 0{,}966 \; \text{V}

3. Rappel de la relation de de Broglie

Section titled “3. Rappel de la relation de de Broglie”

Louis de Broglie a postulé en 1923 que toute particule de quantité de mouvement pp est associée à une onde de longueur d’onde λdB\lambda_{\text{dB}} telle que : λdB=hp\lambda_{\text{dB}} = \frac{h}{p}

4. Application aux photoélectrons accélérés et conclusion

Section titled “4. Application aux photoélectrons accélérés et conclusion”

L’énergie cinétique initiale maximale des électrons est Eci=Ec,max≈0,966  eVE_{ci} = E_{c,\text{max}} \approx 0{,}966 \; \text{eV}. Ils sont ensuite accélérés par une tension U0=100  VU_0 = 100 \; \text{V}. Leur nouvelle énergie cinétique EcfE_{cf} devient : Ecf=Eci+eU0≈0,966  eV+100  eV=100,966  eVE_{cf} = E_{ci} + eU_0 \approx 0{,}966 \; \text{eV} + 100 \; \text{eV} = 100{,}966 \; \text{eV} (Remarque : 100  eV≪mc2≈511  keV100 \; \text{eV} \ll mc^2 \approx 511 \; \text{keV}, l’approximation classique est amplement justifiée).

L’énergie cinétique s’écrit Ecf=p22mE_{cf} = \frac{p^2}{2m}, d’où la quantité de mouvement : p=2mEcfp = \sqrt{2m E_{cf}}

La longueur d’onde de de Broglie est donc : λdB=h2mEcf\lambda_{\text{dB}} = \frac{h}{\sqrt{2m E_{cf}}}

Application numérique : Convertissons EcfE_{cf} en Joules : Ecf=100,966×1,60×10−19=1,615×10−17  JE_{cf} = 100{,}966 \times 1{,}60 \times 10^{-19} = 1{,}615 \times 10^{-17} \; \text{J} λdB=6,626×10−342×9,10×10−31×1,615×10−17\lambda_{\text{dB}} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9{,}10 \times 10^{-31} \times 1{,}615 \times 10^{-17}}} λdB≈6,626×10−345,419×10−24≈1,22×10−10  m=0,122  nm\lambda_{\text{dB}} \approx \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{5{,}419 \times 10^{-24}} \approx 1{,}22 \times 10^{-10} \; \text{m} = 0{,}122 \; \text{nm} Conclusion: * La longueur d’onde de de Broglie obtenue (≈0,12  nm\approx 0{,}12 \; \text{nm}) est du même ordre de grandeur que les distances interatomiques dans un cristal (∼0,2−0,5  nm\sim 0{,}2 - 0{,}5 \; \text{nm}). Par conséquent, ces électrons pourront aisément mettre en évidence des phénomènes de diffraction (comme dans l’expérience de Davisson et Germer), validant ainsi le caractère ondulatoire de la matière dans ce domaine d’énergie.