Cours : Dynamique des solides

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le module de la dynamique des solides indéformables en PSI vise à relier les actions mécaniques (forces et moments) exercées sur un système matériel à son mouvement (cinématique).

1.1. Modèle du solide indéformable

Un solide $S$ est un ensemble indéformable de points matériels $P$. La distance entre deux points quelconques $P_1$ et $P_2$ de $S$ est constante au cours du temps : $\forall (P_1, P_2) \in S^2, \quad \frac{d}{dt} \| \overrightarrow{P_1P_2} \| = 0$

1.2. Torseurs cinématique et cinétique

• Torseur cinématique du solide $S$ par rapport au repère galiléen $\mathcal{R}_0$ : $\{\mathcal{V}(S/\mathcal{R}_0)\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \\ \vec{V}(P \in S/\mathcal{R}_0) \end{array} \right\}_P$ où $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0)$ est le vecteur taux de rotation et $\vec{V}(P \in S/\mathcal{R}_0)$ la vitesse du point $P$.

• Torseur cinétique du solide $S$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ au point $P$ : $\{\mathcal{C}_P(S/\mathcal{R}_0)\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R}_c(S/\mathcal{R}_0) = m \vec{V}(G/\mathcal{R}_0) \\ \vec{\sigma}_P(S/\mathcal{R}_0) \end{array} \right\}_P$ avec $m$ la masse totale du solide, $G$ son centre d’inertie, et $\vec{\sigma}_P$ le moment cinétique au point $P$.

1.3. Torseur dynamique

Le torseur dynamique du solide $S$ par rapport au repère galiléen $\mathcal{R}_0$ au point $P$ est défini par : $\{\mathcal{D}_P(S/\mathcal{R}_0)\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R}_d(S/\mathcal{R}_0) = \frac{d}{dt}\left(\vec{R}_c(S/\mathcal{R}_0)\right)_{\mathcal{R}_0} = m \vec{\gamma}(G/\mathcal{R}_0) \\ \vec{\delta}_P(S/\mathcal{R}_0) = \frac{d}{dt}\left(\vec{\sigma}_P(S/\mathcal{R}_0)\right)_{\mathcal{R}_0} + \vec{V}(P/\mathcal{R}_0) \wedge m\vec{V}(G/\mathcal{R}_0) \end{array} \right\}_P$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

2.1. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Dans un repère $\mathcal{R}_0$ galiléen, le torseur dynamique du solide est égal au torseur des actions mécaniques extérieures exercées sur le solide : $\{\mathcal{D}_P(S/\mathcal{R}_0)\} = \{\mathcal{F}_{\text{ext} \to S}\}_P$

Ce torseur se décompose en deux équations vectorielles fondamentales :

1. Théorème de la Résultante Dynamique (TRD) : $\vec{R}_{\text{ext}} = m \vec{\gamma}(G/\mathcal{R}_0)$
2. Théorème du Moment Dynamique (TMD) en un point $P$ fixe dans $\mathcal{R}_0$ ou confondu avec $G$ : $\vec{M}_P(\text{ext} \to S) = \left( \frac{d\vec{\sigma}_P(S/\mathcal{R}_0)}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0}$

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2.2. Démonstration : Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe ou au centre d’inertie

Objectif: Établir l’expression de $\vec{\delta}_P$ lorsque $P$ est fixe dans $\mathcal{R}_0$ ou lorsque $P = G$.*

Par définition, le moment dynamique au point $P$ est : $\vec{\delta}_P(S/\mathcal{R}_0) = \left( \frac{d\vec{\sigma}_P(S/\mathcal{R}_0)}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} + \vec{V}(P/\mathcal{R}_0) \wedge m\vec{V}(G/\mathcal{R}_0)$

1. Cas où $P$ est fixe dans $\mathcal{R}_0$ : La vitesse de $P$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ est nulle : $\vec{V}(P/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$. Le terme additionnel s’annule, d’où : $\vec{\delta}_P(S/\mathcal{R}_0) = \left( \frac{d\vec{\sigma}_P(S/\mathcal{R}_0)}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0}$

2. Cas où $P = G$ (Centre d’inertie) : Par définition de $G$, on a $\vec{PG} = \vec{0}$, donc $\vec{V}(G/\mathcal{R}_0) = \vec{V}(G/\mathcal{R}_0)$. Le terme additionnel devient $\vec{V}(G/\mathcal{R}_0) \wedge m\vec{V}(G/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$. Par conséquent : $\vec{\delta}_G(S/\mathcal{R}_0) = \left( \frac{d\vec{\sigma}_G(S/\mathcal{R}_0)}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0}$ (Remarque : Cette relation reste vraie si $P$ est un point quelconque du solide en mouvement dont la vitesse instantanée est colinéaire à $\vec{V}(G/\mathcal{R}_0)$).

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2.3. Théorèmes énergétiques

• Puissance des actions extérieures ($\mathcal{P}_{\text{ext}}$) : $\mathcal{P}_{\text{ext}} = \{\mathcal{F}_{\text{ext} \to S}\} \otimes \{\mathcal{V}(S/\mathcal{R}_0)\} = \vec{R}_{\text{ext}} \cdot \vec{V}(A \in S/\mathcal{R}_0) + \vec{M}_A(\text{ext} \to S) \cdot \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0)$
• Théorème de l’Énergie Cinetique (TEC) : La dérivée temporelle de l’énergie cinétique $E_c(S/\mathcal{R}_0)$ est égale à la puissance totale des actions extérieures et intérieures : $\frac{dE_c(S/\mathcal{R}_0)}{dt} = \mathcal{P}_{\text{ext}} + \mathcal{P}_{\text{int}}$ (Pour un solide indéformable, la puissance des efforts intérieurs $\mathcal{P}_{\text{int}}$ est nulle).

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💡 3. Méthodes classiques de résolution

Pour résoudre un problème de dynamique en PSI, la méthodologie rigoureuse suivante doit être appliquée :

1. Isolement du système : Définir précisément le solide $S$ ou l’ensemble de solides étudié.
2. Bilan des actions mécaniques extérieures (BAME) : Recenser toutes les forces et couples exercés sur $S$ en précisant leur nature (liaison, pesanteur, action à distance).
3. Choix du référentiel : S’assurer que le repère d’étude $\mathcal{R}_0$ est galiléen (ou appliquer les lois de Newton modifiées en repère non galiléen si explicitement demandé).
4. Choix du théorème :
   • Méthode vectorielle (TRD/TMD) : Privilégiée si l’on cherche des efforts de liaison. Attention à projeter judicieusement les équations pour éliminer les inconnues inutiles.
   • Méthode énergétique (TEC) : Privilégiée si l’on cherche une relation unique entre une position (ou un angle) et une vitesse, sans faire intervenir les efforts de liaison parfaits.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

• Oubli du caractère galiléen : Appliquer le PFD dans un repère lié à la Terre sans justifier son approximation galiléenne (ou sans ajouter les forces d’inertie si l’on travaille dans un repère non galiléen).
• Erreur d’application du TMD : Appliquer l’égalité $\vec{M}_P(\text{ext}) = \frac{d\vec{\sigma}_P}{dt}$ en un point $P$ qui n’est ni fixe dans $\mathcal{R}_0$, ni le centre d’inertie $G$. C’est une erreur éliminatoire fréquente.
• Matrice d’inertie variable : Dans le calcul de $\vec{\sigma}_P(S/\mathcal{R}_0) = \mathbf{I}_P(S) \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0)$, la matrice d’inertie $\mathbf{I}_P(S)$ est constante uniquement si elle est exprimée dans une base liée au solide. Si l’on dérive dans $\mathcal{R}_0$ alors que la base d’expression tourne, il faut dériver la matrice elle-même (ou utiliser judicieusement un théorème de transport ou une base fixe si le solide a une géométrie simple).
• Puissance des liaisons parfaites : Ne pas oublier que pour une liaison parfaite (sans frottement), la puissance développée par les efforts de liaison est nulle, ce qui simplifie grandement le TEC.