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CPGE Futur

Exercice 2 : Repérage, droites, plans et sphères dans l espace 3D

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Dans l’espace affine euclidien orienté E3\mathcal{E}_3, rapporté à un repère orthonormal direct R=(O,i⃗,j⃗,k⃗)\mathcal{R} = (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère un tétraèdre ABCDABCD dont les sommets ont pour coordonnées cartésiennes respectives : A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,1)A(1, 0, 0), \quad B(0, 1, 0), \quad C(0, 0, 1), \quad D(1, 1, 1)

L’objectif de ce problème est d’étudier la configuration géométrique de ce tétraèdre, de déterminer l’équation de la sphère circonscrite à ABCDABCD, et de caractériser l’intersection de cette sphère avec différents plans remarquables de l’espace. Les techniques mobilisées relèvent de la géométrie analytique vectorielle et du calcul de produits scalaires et vectoriels, indispensables en classe préparatoire aux concours.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)”

  1. Nature géométrique et repérage initial a) Montrer que les points A,B,CA, B, C et DD ne sont pas coplanaires. En déduire qu’ils forment un tétraèdre bien défini. b) Calculer les coordonnées des vecteurs AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} et AD⃗\vec{AD}, puis déterminer l’aire du triangle ABCABC.

  2. Plans et droites remarquables a) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC). b) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (Δ)(\Delta) passant par DD et orthogonale au plan (ABC)(ABC). c) Calculer les coordonnées du projeté orthogonal HH du point DD sur le plan (ABC)(ABC). En déduire la hauteur du tétraèdre issue de DD.

  3. Sphère circonscrite a) Soit SS la sphère circonscrite au tétraèdre ABCDABCD. Rappeler l’équation générale d’une sphère dans E3\mathcal{E}_3 et écrire un système de 4 équations permettant de déterminer le centre Ω(xΩ,yΩ,zΩ)\Omega(x_\Omega, y_\Omega, z_\Omega) et le rayon RR de SS. b) Résoudre ce système et expliciter l’équation cartésienne de SS. c) Vérifier si le centre Ω\Omega de la sphère SS coïncide avec le centre de gravité GG du tétraèdre ABCDABCD. Conclure sur la régularité du tétraèdre.

  4. Intersections et analyse critique a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection de la sphère SS avec le plan (Oxy)(Oxy) d’équation z=0z = 0. b) Analyse critique du modèle : Si l’on perturbe légèrement les coordonnées du sommet DD en posant Dε(1+ε,1,1)D_\varepsilon(1+\varepsilon, 1, 1) avec ε→0\varepsilon \to 0, décrire qualitativement l’évolution du centre Ωε\Omega_\varepsilon de la sphère circonscrite. Quel est l’impact d’une telle incertitude expérimentale sur les applications géométriques en robotique ou en infographie 3D ?

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Q1 : Pour la non-coplanarité, calcule le déterminant formé par les vecteurs AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} et AD⃗\vec{AD}. Pour l’aire, utilise la norme du produit vectoriel 12∥AB⃗∧AC⃗∥\frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\|.
  • Q2 : Un vecteur normal au plan (ABC)(ABC) est donné par n⃗=AB⃗∧AC⃗\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}. La droite (Δ)(\Delta) utilise ce même vecteur comme vecteur directeur. Le point HH s’obtient en injectant les équations paramétriques de (Δ)(\Delta) dans l’équation du plan (ABC)(ABC).
  • Q3 : L’équation d’une sphère est (x−xΩ)2+(y−yΩ)2+(z−zΩ)2=R2(x-x_\Omega)^2 + (y-y_\Omega)^2 + (z-z_\Omega)^2 = R^2, ou de manière équivalente x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0x^2+y^2+z^2 + ax + by + cz + d = 0. L’équidistance de Ω\Omega par rapport aux quatre points A,B,C,DA, B, C, D fournit un système linéaire simple.
  • Q4 : Pour l’intersection avec z=0z=0, substitue z=0z=0 dans l’équation cartésienne de SS et reconnais l’équation d’un cercle dans le plan. Pour l’analyse critique, effectue un calcul différentiel ou une résolution paramétrée en ε\varepsilon.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Nature géométrique et repérage initial

Section titled “1. Nature géométrique et repérage initial”

a) Non-coplanarité des points : Calculons les vecteurs issus de AA : AB⃗=(−1,1,0),AC⃗=(−1,0,1),AD⃗=(0,1,1)\vec{AB} = (-1, 1, 0), \quad \vec{AC} = (-1, 0, 1), \quad \vec{AD} = (0, 1, 1) Formons la matrice de ces trois vecteurs pour calculer leur déterminant (produit mixte) : det⁡(AB⃗,AC⃗,AD⃗)=∣−1−10101011∣\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} En développant par rapport à la première ligne : det⁡=−1⋅(0−1)−(−1)⋅(1−0)+0=1+1=2\det = -1 \cdot (0 - 1) - (-1) \cdot (1 - 0) + 0 = 1 + 1 = 2 Le déterminant est non nul (2≠02 \neq 0), ce qui prouve que la famille (AB⃗,AC⃗,AD⃗)(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) forme une base de l’espace vectoriel V3\mathcal{V}_3. Par conséquent, les points A,B,CA, B, C et DD ne sont pas coplanaires et définissent un tétraèdre non aplati.

b) Aire du triangle ABCABC : Calculons le produit vectoriel AB⃗∧AC⃗\vec{AB} \wedge \vec{AC} : AB⃗∧AC⃗=(−110)∧(−101)=(1⋅1−0⋅00⋅(−1)−(−1)⋅1(−1)⋅0−1⋅(−1))=(111)\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} L’aire A\mathcal{A} du triangle ABCABC vaut : A=12∥AB⃗∧AC⃗∥=1212+12+12=32 (uniteˊs d’aire)\mathcal{A} = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ (unités d'aire)}

2. Plans et droites remarquables

Section titled “2. Plans et droites remarquables”

a) Équation du plan (ABC)(ABC) : Le vecteur n⃗=AB⃗∧AC⃗=(1,1,1)\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} = (1, 1, 1) est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC). Une équation cartésienne est donc de la forme : 1⋅x+1⋅y+1⋅z+d=01 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z + d = 0 Puisque le point A(1,0,0)A(1, 0, 0) appartient au plan, ses coordonnées vérifient l’équation : 1+0+0+d=0  ⟹  d=−11 + 0 + 0 + d = 0 \implies d = -1 Ainsi, le plan (ABC)(ABC) a pour équation cartésienne : (P)ABC:x+y+z−1=0\text{(P)}_{ABC} : x + y + z - 1 = 0

b) Droite (Δ)(\Delta) orthogonale à (ABC)(ABC) passant par DD : La droite (Δ)(\Delta) passe par D(1,1,1)D(1, 1, 1) et admet n⃗=(1,1,1)\vec{n} = (1, 1, 1) comme vecteur directeur. Un système d’équations paramétriques de (Δ)(\Delta) est : {x=1+ty=1+tz=1+t,t∈R\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}

c) Projeté orthogonal HH et hauteur du tétraèdre : Le point HH est l’intersection de la droite (Δ)(\Delta) et du plan (ABC)(ABC). Injectons les équations paramétriques dans l’équation du plan : (1+t)+(1+t)+(1+t)−1=0  ⟹  3t+2=0  ⟹  t=−23(1 + t) + (1 + t) + (1 + t) - 1 = 0 \implies 3t + 2 = 0 \implies t = -\frac{2}{3} En reportant cette valeur dans le système paramétrique : xH=1−23=13,yH=1−23=13,zH=1−23=13x_H = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}, \quad y_H = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}, \quad z_H = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} Le projeté orthogonal a pour coordonnées H(13,13,13)H\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right). La hauteur hh du tétraèdre issue de DD est la distance DHDH : h=∥DH⃗∥=(13−1)2+(13−1)2+(13−1)2=3(−23)2=3⋅49=233 (uniteˊs de longueur)h = \|\vec{DH}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{3} - 1\right)^2 + \left(\frac{1}{3} - 1\right)^2 + \left(\frac{1}{3} - 1\right)^2} = \sqrt{3 \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{3 \cdot \frac{4}{9}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ (unités de longueur)}

3. Sphère circonscrite

Section titled “3. Sphère circonscrite”

a) Mise en place du système : Soit SS la sphère d’équation cartésienne : x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0 Puisque SS circonscrit le tétraèdre ABCDABCD, les coordonnées de A,B,CA, B, C et DD doivent satisfaire cette équation :

  • Pour A(1,0,0)A(1, 0, 0) : 1+a+d=01 + a + d = 0
  • Pour B(0,1,0)B(0, 1, 0) : 1+b+d=01 + b + d = 0
  • Pour C(0,0,1)C(0, 0, 1) : 1+c+d=01 + c + d = 0
  • Pour D(1,1,1)D(1, 1, 1) : 12+12+12+a+b+c+d=3+a+b+c+d=01^2 + 1^2 + 1^2 + a + b + c + d = 3 + a + b + c + d = 0

b) Résolution du système et équation de SS : D’après les trois premières équations : a=−1−d,b=−1−d,c=−1−da = -1 - d, \quad b = -1 - d, \quad c = -1 - d Substituons a,b,ca, b, c dans la quatrième équation : 3+(−1−d)+(−1−d)+(−1−d)+d=03 + (-1 - d) + (-1 - d) + (-1 - d) + d = 0 3−3−3d+d=0  ⟹  −2d=0  ⟹  d=03 - 3 - 3d + d = 0 \implies -2d = 0 \implies d = 0 On en déduit immédiatement : a=−1,b=−1,c=−1,d=0a = -1, \quad b = -1, \quad c = -1, \quad d = 0 L’équation cartésienne de la sphère SS est donc : x2+y2+z2−x−y−z=0x^2 + y^2 + z^2 - x - y - z = 0 Mettons cette équation sous forme canonique pour trouver le centre Ω\Omega et le rayon RR : (x−12)2−14+(y−12)2−14+(z−12)2−14=0\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = 0 (x−12)2+(y−12)2+(z−12)2=34\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} Le centre de la sphère est Ω(12,12,12)\Omega\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) et son rayon est R=32R = \frac{\sqrt{3}}{2}.

c) Comparaison avec le centre de gravité : Le centre de gravité GG du tétraèdre ABCDABCD est défini par : xG=xA+xB+xC+xD4=1+0+0+14=24=12x_G = \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4} = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} Par symétrie des coordonnées, on trouve de même yG=12y_G = \frac{1}{2} et zG=12z_G = \frac{1}{2}. Ainsi, Ω=G(12,12,12)\Omega = G\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right). Le centre de la sphère circonscrite coïncide avec le centre de gravité du tétraèdre. Toutefois, le tétraèdre ABCDABCD n’est pas régulier car les longueurs des arêtes ne sont pas toutes égales (par exemple, ∥AB⃗∥=2\|\vec{AB}\| = \sqrt{2} tandis que ∥AD⃗∥=12+12+02=2\|\vec{AD}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}, mais ∥AC⃗∥=2\|\vec{AC}\| = \sqrt{2} et ∥BC∥=2\|\text{BC}\| = \sqrt{2}, alors que ∥CD∥=1\|\text{CD}\| = 1). La coïncidence de Ω\Omega et GG est une propriété remarquable liée à l’isométrie de certaines arêtes par rapport au repère orthogonal.

4. Intersections et analyse critique

Section titled “4. Intersections et analyse critique”

a) Intersection de SS avec le plan (Oxy)(Oxy) (z=0z = 0) : En posant z=0z = 0 dans l’équation de la sphère SS, on obtient : x2+y2−x−y=0x^2 + y^2 - x - y = 0 Mettons cette équation sous forme canonique : (x−12)2−14+(y−12)2−14=0  ⟹  (x−12)2+(y−12)2=12\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = 0 \implies \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} L’intersection est donc un cercle situé dans le plan (Oxy)(Oxy), de centre Ω′(12,12,0)\Omega' \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) et de rayon R′=12=22R' = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

b) Analyse critique du modèle et perturbations : Considérons le sommet perturbé Dε(1+ε,1,1)D_\varepsilon(1+\varepsilon, 1, 1). Reprenons le calcul du centre Ωε(xΩ,yΩ,zΩ)\Omega_\varepsilon(x_\Omega, y_\Omega, z_\Omega) de la sphère circonscrite. La condition d’équidistance ∥Ωε−A∥2=∥Ωε−Dε∥2\|\Omega_\varepsilon - A\|^2 = \|\Omega_\varepsilon - D_\varepsilon\|^2 montre que la composante xΩx_\Omega est modifiée de l’ordre de O(ε)\mathcal{O}(\varepsilon). En pratique, dans les systèmes de CAO (Conception Aide par Ordinateur), de robotique ou de modélisation numérique 3D, les coordonnées des sommets mesurées par capteurs comportent toujours une incertitude métrologique ε\varepsilon. Une variation infime sur un sommet engendre un déplacement du centre de la sphère circonscrite et une modification de son rayon. Si le système est mal conditionné (ce qui arrive lorsque le déterminant du système linéaire est proche de zéro), une petite erreur d’entrée ε\varepsilon peut générer une erreur amplifiée sur la localisation du centre Ω\Omega, risquant de fausser les calculs d’intersections cinématiques ou géométriques en aval.