Exercice 2 : Critères de stabilité (Routh, Nyquist, marges de phase)

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

On s’intéresse à l’asservissement en position d’un axe vertical de manutention industrielle, soumis à des contraintes de précision et de rapidité. Le schéma bloc du système bouclé est donné par une consigne $C(p)$ et une position mesurée $S(p)$.

La chaîne directe est constituée d’un correcteur $K(p)$, d’un onduleur et d’un moteur à courant continu modélisé par sa fonction de transfert, ainsi que d’un réducteur mécanique. L’ensemble de la chaîne directe est modélisé par la fonction de transfert ouverte $H_{BO}(p)$ suivante :

$H_{BO}(p) = \frac{K}{p(1 + T_1 p)(1 + T_2 p)}$

Avec les données numériques constructeur suivantes :

• $K = 10 \; \text{s}^{-1}$ (gain global réglable)
• $T_1 = 0{,}1 \; \text{s}$ (constante de temps électrique/mécanique dominante)
• $T_2 = 0{,}02 \; \text{s}$ (constante de temps parasite)

Hypothèses de modélisation et esprit critique :

Le modèle linéaire invariant (LTI) utilisé néglige les jeux mécaniques dans le réducteur, les saturations en tension de l’onduleur et les frottements secs. De plus, le terme $T_2$ représente un mode propre haute fréquence souvent incertain. L’ingénieur doit valider la robustesse du système face à ces incertitudes.

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❓ Questions progressives

1. Analyse structurelle et statique : Déterminer la classe du système ouvert $H_{BO}(p)$ et calculer l’erreur statique pour une entrée en échelon de position d’amplitude $1 \; \text{rad}$. Conclure vis-à-vis du cahier des charges usuel.
2. Critère algébrique de Routh : Mettre le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p)$ sous la forme d’un polynôme caractéristique. Appliquer le critère de Routh pour déterminer la condition sur le gain $K$ garantissant la stabilité asymptotique du système. Calculer la valeur limite $K_{lim}$.
3. Tracé asymptotique et Réel (Nyquist) : Exprimer la fonction de transfert harmonique $H_{BO}(j\omega)$. Déterminer l’expression de la pulsation de phase $\omega_p$ pour laquelle la phase de $H_{BO}(j\omega)$ vaut $-\pi$ rad. En déduire la condition sur $K$ assurant une stabilité au sens du critère de Nyquist.
4. Marges de stabilité : On fixe $K = 2$.
   • Calculer la pulsation de gain $\omega_g$ (pulsation pour laquelle le module vaut $1$).
   • En déduire la marge de phase $M_\phi$ et la marge de gain $M_G$.
5. Analyse critique et robustesse : Le constructeur annonce une incertitude de $\pm 30\%$ sur la constante de temps parasite $T_2$ en raison de l’usure du réducteur. Discuter de l’impact de cette variation sur la marge de phase calculée précédemment et proposer une modification qualitative du correcteur $K(p)$ si la marge venait à être insuffisante ($M_\phi < 45^\circ$).

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💡 Pistes & Indications

• Question 1 : La classe correspond au nombre d’intégrateurs pur ($p^k$) en facteur dans $H_{BO}(p)$. Utiliser le théorème de la valeur finale pour l’erreur statique.
• Question 2 : Le polynôme caractéristique est $1 + H_{BO}(p) = 0$. Multiplier par le dénominateur pour obtenir un polynôme de degré 3.
• Question 3 : La phase de $H_{BO}(j\omega)$ est argument du numérateur moins argument du dénominateur. Annuler la partie imaginaire de ce dénominateur complexe pour trouver $\omega_p$.
• Question 4 : Résoudre $|H_{BO}(j\omega_g)| = 1$ (souvent plus simple en résolvant $|H_{BO}(j\omega_g)|^2 = 1$). La marge de phase se déduit par $M_\phi = 180^\circ + \text{Arg}(H_{BO}(j\omega_g))$.
• Question 5 : Penser à l’allure du diagramme de Bode : une augmentation des constantes de temps hautes fréquences accentue la chute de phase aux pulsations intermédiaires.

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📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

1. Analyse structurelle et statique

La fonction de transfert ouverte s’écrit : $H_{BO}(p) = \frac{K}{p(1 + T_1 p)(1 + T_2 p)}$ La présence du terme $p$ en facteur au dénominateur indique que le système est de classe 1. Pour une entrée en échelon de position d’amplitude $E_0 = 1$, l’erreur statique $e_s$ vaut : $e_s = \lim_{t \to +\infty} \varepsilon(t) = \lim_{p \to 0} p \cdot \frac{E_0}{p} \cdot \frac{1}{1 + H_{BO}(p)} = \lim_{p \to 0} \frac{1}{1 + H_{BO}(p)} = 0$ Conclusion: * L’erreur statique est nulle, le système suit parfaitement une consigne de position constante, ce qui est typique d’un système de classe 1.

2. Critère algébrique de Routh

La fonction de transfert en boucle fermée est : $H_{BF}(p) = \frac{H_{BO}(p)}{1 + H_{BO}(p)} = \frac{K}{p(1 + T_1 p)(1 + T_2 p) + K}$ Développons le dénominateur $D(p)$ : $D(p) = p(1 + (T_1 + T_2)p + T_1 T_2 p^2) + K = T_1 T_2 p^3 + (T_1 + T_2) p^2 + p + K$ Le polynôme caractéristique est $P(p) = T_1 T_2 p^3 + (T_1 + T_2) p^2 + p + K$. Appliquons le tableau de Routh pour ce polynôme de degré 3 (avec $T_1 = 0{,}1$, $T_2 = 0{,}02 \implies T_1 T_2 = 0{,}002$ et $T_1 + T_2 = 0{,}12$) :

Degré	1ère colonne	2ème colonne
$p^3$	$T_1 T_2 = 0{,}002$	$1$
$p^2$	$T_1 + T_2 = 0{,}12$	$K$
$p^1$	$\frac{(T_1 + T_2)\cdot 1 - T_1 T_2 \cdot K}{T_1 + T_2}$	$0$
$p^0$	$K$

Pour assurer la stabilité asymptotique (tous les coefficients de la première colonne de Routh de même signe, non nuls) :

1. $0{,}002 > 0$ (toujours vrai)
2. $0{,}12 > 0$ (toujours vrai)
3. $\frac{0{,}12 - 0{,}002K}{0{,}12} > 0 \implies K < \frac{0{,}12}{0{,}002} = 60$
4. $K > 0$

Condition de Routh : $0 < K < 60$. La valeur limite est $K_{lim} = 60 \; \text{s}^{-1}$.

3. Trateau et Pulsation de phase

La fonction harmonique s’écrit : $H_{BO}(j\omega) = \frac{K}{j\omega(1 + j T_1 \omega)(1 + j T_2 \omega)}$ L’argument (phase) est : $\text{Arg}(H_{BO}(j\omega)) = -\frac{\pi}{2} - \arctan(T_1 \omega) - \arctan(T_2 \omega)$ La pulsation de phase $\omega_p$ est telle que $\text{Arg}(H_{BO}(j\omega_p)) = -\pi$ : $-\frac{\pi}{2} - \arctan(T_1 \omega_p) - \arctan(T_2 \omega_p) = -\pi \implies \arctan(T_1 \omega_p) + \arctan(T_2 \omega_p) = \frac{\pi}{2}$ En utilisant la relation $\arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ (pour $ab < 1$) : $\frac{(T_1 + T_2)\omega_p}{1 - T_1 T_2 \omega_p^2} = +\infty \implies 1 - T_1 T_2 \omega_p^2 = 0$ $\omega_p = \frac{1}{\sqrt{T_1 T_2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}002}} = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 10^{-3}}} = \frac{10\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}18 \; \text{rad/s}$

Calculons le module de $H_{BO}(j\omega_p)$ : $|H_{BO}(j\omega_p)| = \frac{K}{\omega_p \sqrt{1 + T_1^2 \omega_p^2}\sqrt{1 + T_2^2 \omega_p^2}}$ Or, $\omega_p^2 = \frac{1}{T_1 T_2}$, donc $T_1^2 \omega_p^2 = \frac{T_1}{T_2}$ et $T_2^2 \omega_p^2 = \frac{T_2}{T_1}$. Le module à $\omega_p$ devient : $|H_{BO}(j\omega_p)| = \frac{K}{\frac{1}{\sqrt{T_1 T_2}} \sqrt{1 + \frac{T_1}{T_2}}\sqrt{1 + \frac{T_2}{T_1}}} = \frac{K \sqrt{T_1 T_2}}{\sqrt{\frac{T_2 + T_1}{T_2}} \sqrt{\frac{T_1 + T_2}{T_1}}} = \frac{K T_1 T_2}{T_1 + T_2}$ Application numérique pour $K_{lim}$ (où le module vaut 1 au point critique $(-1, j0)$) : $\frac{K_{lim} \cdot 0{,}002}{0{,}12} = 1 \implies K_{lim} = \frac{0{,}12}{0{,}002} = 60 \; \text{s}^{-1}$ (Résultat cohérent avec le critère de Routh).

4. Calcul des marges de stabilité (pour $K = 2$)

Avec $K = 2$, le système est stable.

• Pulsation de gain $\omega_g$ : $|H_{BO}(j\omega_g)| = 1$. $\frac{2}{\omega_g \sqrt{1 + (0{,}1 \omega_g)^2}\sqrt{1 + (0{,}02 \omega_g)^2}} = 1$ Par résolution numérique ou approximation (le gain étant faible, $\omega_g$ est petite, $\approx 2 \; \text{rad/s}$ car $\frac{2}{\omega_g} \approx 1$ pour les termes $\approx 1$) : Vérifions $\omega_g \approx 1{,}85 \; \text{rad/s}$. (À cette pulsation, les termes $T_1\omega_g$ et $T_2\omega_g$ sont proches de 0, donc $|H_{BO}(j\omega_g)| \approx \frac{2}{\omega_g} = 1 \implies \omega_g \approx 2$). Valeur plus précise : $\omega_g \approx 1{,}82 \; \text{rad/s}$.

• Marge de phase $M_\phi$ : $M_\phi = 180^\circ + \text{Arg}(H_{BO}(j\omega_g)) = 180^\circ - 90^\circ - \arctan(0{,}1 \times 1{,}82) - \arctan(0{,}02 \times 1{,}82)$ $M_\phi = 90^\circ - \arctan(0{,}182) - \arctan(0{,}036) \approx 90^\circ - 10{,}3^\circ - 2{,}1^\circ = 77{,}6^\circ$ La marge de phase est très confortable ($M_\phi > 45^\circ$), garantissant un amortissement satisfaisant sans dépassement excessif.

• Marge de gain $M_G$ : La phase atteint $-\pi$ à $\omega_p \approx 11{,}18 \; \text{rad/s}$. Le module à cette pulsation est : $|H_{BO}(j\omega_p)| = \frac{2 \times 0{,}002}{0{,}12} = \frac{0{,}004}{0{,}12} = \frac{1}{30}$ Exprimée en décibels : $M_G = -20 \log_{10}\left(|H_{BO}(j\omega_p)|\right) = -20 \log_{10}\left(\frac{1}{30}\right) = 20 \log_{10}(30) \approx 29{,}5 \; \text{dB}$

5. Analyse critique et robustesse face aux incertitudes

Si $T_2$ augmente de $+30\%$ (usure, augmentation des inerties ou des inductances parasites), le produit $T_1 T_2$ augmente, ce qui élève le gain en haute fréquence de la chaîne ouverte et réduit la marge de phase. Critique du modèle : Le modèle néglige les retards purs (temps de calcul de la commande numérique par exemple). Un retard pur introduit un déphasage additionnel $-\tau_{retard} \omega$ qui dégrade drastiquement la marge de phase à haute pulsation. Si $M_\phi$ venait à passer sous les $45^\circ$ suite à ces variations paramétriques, l’ingénieur devrait implémenter un correcteur à avance de phase (pour redresser la phase autour de la pulsation de gain) ou baisser le gain $K$, au détriment toutefois de la rapidité et de la précision dynamique du système.