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CPGE Futur

Cours : Induction électromagnétique

Induction électromagnétique

Section titled “Induction électromagnétique”

Niveau: ** MPSI (Première année)
Matière : Physique-Chimie

1. Introduction et phénomènes fondamentaux

Section titled “1. Introduction et phénomènes fondamentaux”

L’induction électromagnétique, découverte par Michael Faraday et mise en équation par James Clerk Maxwell, décrit la création d’une force électromotrice (f.e.m.) dans un circuit conducteur soumis à un champ magnétique variable ou en mouvement.

1.1. Flux magnétique à travers une surface

Section titled “1.1. Flux magnétique à travers une surface”

Soit B⃗(r⃗,t)\vec{B}(\vec{r}, t) le champ magnétique et SS une surface orientée s’appuyant sur un contour fermé C\mathcal{C}. Le flux magnétique Φ\Phi à travers cette surface est défini par : Φ(t)=∬SB⃗(r⃗,t)⋅n⃗ dS\Phi(t) = \iint_{S} \vec{B}(\vec{r}, t) \cdot \vec{n} \, dS

  • Unité : Le Weber (Wb\text{Wb}), ou T⋅m2\text{T}\cdot\text{m}^2.
  • Le vecteur normal S⃗=∬Sn⃗ dS\vec{S} = \iint_S \vec{n} \, dS est lié au sens d’orientation du contour C\mathcal{C} par la règle du bonhomme d’Ampère (ou du tire-bouchon).

2. Lois fondamentales de l’induction

Section titled “2. Lois fondamentales de l’induction”

2.1. Loi de Faraday-Neumann

Section titled “2.1. Loi de Faraday-Neumann”

La force électromotrice induite e(t)e(t) dans un circuit fermé C\mathcal{C} est opposée à la dérivée temporelle du flux magnétique traversant ce circuit : e(t)=−dΦdte(t) = -\frac{d\Phi}{dt}

  • Unité : Le Volt (V\text{V}).

2.2. Loi de Lenz (Aspect qualitatif)

Section titled “2.2. Loi de Lenz (Aspect qualitatif)”

« Les effets de l’induction s’opposent aux causes qui leur ont donné naissance. »

Cette loi se traduit mathématiquement par le signe « −- » dans la loi de Faraday. Elle garantit la conservation de l’énergie : un courant induit crée son propre champ magnétique qui s’oppose à la variation du champ (ou du flux) extérieur.

3. Origines de la f.e.m. induite : les deux cas de figure

Section titled “3. Origines de la f.e.m. induite : les deux cas de figure”

Selon la nature de la variation du flux (variation temporelle du champ B⃗\vec{B} ou variation géométrique du circuit), on distingue deux origines physiques distinctes, bien que régies par la même loi macroscopique.

3.1. Induction de Lorentz (Circuit en mouvement dans B⃗\vec{B} stationnaire)

Section titled “3.1. Induction de Lorentz (Circuit en mouvement dans B⃗\vec{B}B stationnaire)”

Si le circuit est en mouvement à la vitesse v⃗\vec{v} dans un champ magnétique stationnaire, chaque porteur de charge (de charge qq) est soumis à la force de Lorentz magnétique : F⃗m=qv⃗×B⃗\vec{F}_m = q\vec{v} \times \vec{B} La force électromotrice de mouvement est définie par la circulation du champ électromoteur E⃗m=v⃗×B⃗\vec{E}_m = \vec{v} \times \vec{B} le long du contour : e=∮C(v⃗×B⃗)⋅dl⃗e = \oint_{\mathcal{C}} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}

3.2. Induction de Neumann (Circuit fixe dans B⃗\vec{B} variable)

Section titled “3.2. Induction de Neumann (Circuit fixe dans B⃗\vec{B}B variable)”

Si le circuit est fixe (v⃗=0⃗\vec{v} = \vec{0}), la force de Lorentz ne travaille pas. C’est la variation temporelle du champ magnétique ∂B⃗∂t\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} qui induit un champ électrique non conservatif E⃗ind\vec{E}_{\text{ind}} via l’équation de Maxwell-Faraday : ∇⃗×E⃗ind=−∂B⃗∂t\vec{\nabla} \times \vec{E}_{\text{ind}} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} Le flux variant provient alors uniquement de ∂B⃗∂t\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.

4. Aspects énergétiques et circuits électriques

Section titled “4. Aspects énergétiques et circuits électriques”

4.1. Modélisation électrique d’un circuit induit

Section titled “4.1. Modélisation électrique d’un circuit induit”

Dans un circuit fermé de résistance totale RR et d’inductance propre LL, traversé par un courant induit i(t)i(t), la loi d’Ohm généralisée (ou loi de Pouillet) s’écrit : ucircuit=Ri+Ldidt=e(t)u_{\text{circuit}} = Ri + L\frac{di}{dt} = e(t) où e(t)=−dΦdte(t) = -\frac{d\Phi}{dt} est la f.e.m. induite.

4.2. Bilan énergétique et courants de Foucault

Section titled “4.2. Bilan énergétique et courants de Foucault”

  • Puissance électrique dissipée par effet Joule : PJ=Ri2\mathcal{P}_J = R i^2

  • Puissance mécanique (dans le cas d’un système en mouvement) : Pmeˊc=F⃗Laplace⋅v⃗\mathcal{P}_{\text{méc}} = \vec{F}_{\text{Laplace}} \cdot \vec{v} Par conservation de l’énergie (en régime quasi-stationnaire), la puissance mécanique fournie est convertie en puissance électrique, puis dissipée par effet Joule sous forme de chaleur : Pmeˊc+Pf.e.m.=0avecPf.e.m.=e⋅i\mathcal{P}_{\text{méc}} + \mathcal{P}_{\text{f.e.m.}} = 0 \quad \text{avec} \quad \mathcal{P}_{\text{f.e.m.}} = e \cdot i

  • Courts de Foucault : Ce sont des courants induits circulant en “boucles” à l’intérieur même des masses métalliques massives plongées dans un champ variable. Ils sont souvent responsables de pertes énergétiques parasites qu’il convient de limiter (par exemple en feuilletant les noyaux de transformateurs).

5. Exemples classiques et méthodes de résolution (MPSI)

Section titled “5. Exemples classiques et méthodes de résolution (MPSI)”

5.1. Le rail de Laplace

Section titled “5.1. Le rail de Laplace”
  • Dispositif : Une tige conductrice de longueur ℓ\ell, mobile sur deux rails conducteurs parallèles inclinés ou horizontaux, fermée par une résistance RR, le tout plongé dans un champ magnétique uniforme permanent B⃗=B0u⃗z\vec{B} = B_0 \vec{u}_z.
  • Méthode :
    1. Orienter le circuit et choisir la normale n⃗\vec{n} pour calculer Φ(t)=B0S(t)=B0x(t)ℓ\Phi(t) = B_0 S(t) = B_0 x(t) \ell.
    2. Appliquer Faraday : e(t)=−dΦdt=−B0ℓx˙e(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -B_0 \ell \dot{x}.
    3. Établir l’équation électrique : Ri=e=−B0ℓvRi = e = -B_0 \ell v (avec v=x˙v = \dot{x}).
    4. Calculer la force de Laplace F⃗Laplace=idl⃗×B⃗=−B02ℓ2vRu⃗x\vec{F}_{\text{Laplace}} = i \vec{dl} \times \vec{B} = -\frac{B_0^2 \ell^2 v}{R} \vec{u}_x.
    5. Appliquer le PFD sur la tige de masse mm : mx¨=−B02ℓ2Rx˙m \ddot{x} = -\frac{B_0^2 \ell^2}{R} \dot{x} On obtient une équation différentielle caractéristique d’un freinage électromagnétique de temps caractéristique τ=mRB02ℓ2\tau = \frac{mR}{B_0^2 \ell^2}.