Exercice 2 : Matrices et systèmes

Problème : Étude d’une classe de matrices à diagonale dominante et résolution de systèmes associés

L’objectif de ce problème est d’étudier certaines propriétés algébriques et spectrales de matrices à diagonale dominante, très utiles en analyse numérique pour la résolution approchée de systèmes linéaires rencontrés en MP2I.

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Partie I : Préliminaires et inversibilité

Soit $n \ge 2$ un entier. On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de sa structure d’espace vectoriel usuelle. Pour une matrice $A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on définit pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ la somme des éléments extra-diagonaux en valeur absolue sur la ligne $i$ : $R_i(A) = \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^n |a_{i,j}|$

On dit que $A$ est à diagonale strictement dominante si pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, on a : $|a_{i,i}| > R_i(A)$

Question 1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice à diagonale strictement dominante. Démontrer que $A$ est inversible. Indication: Raisonner par l’absurde en considérant un vecteur non nul $X$ tel que $AX = 0$ et en étudiant une composante de module maximal.*

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Partie II : Étude d’un cas particulier et diagonalisation

On considère la matrice $J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par :

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