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Problème : Étude d une suite d intégrales et applications analytiques

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Soit f:[0,1]→Rf : [0, 1] \to \mathbb{R} une fonction continue. On s’intéresse au comportement de la suite (In)n∈N(I_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par : In=∫01xnf(x) dxI_n = \int_0^1 x^n f(x) \, \text{d}x

Ce type de problème classique en classes préparatoires permet d’explorer les techniques d’estimation de suites définies par des intégrales, l’utilisation du théorème de convergence dominée (ou d’arguments élémentaires de continuité) et l’approximation de fonctions continues.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Calcul direct et minoration simple Calculer InI_n dans le cas où f(x)=exf(x) = e^x. Montrer que pour toute fonction ff continue, la suite (In)n∈N(I_n)_{n \in \mathbb{N}} converge vers 00.

  2. Comportement asymptotique (Cas général) On suppose de plus que ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur [0,1][0, 1]. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer un équivalent simple de InI_n lorsque nn tend vers +∞+\infty.

  3. Montée en puissance (Lemme de Lebesgue discret) On suppose maintenant que ff est continue sur [0,1][0, 1] et que f(1)≠0f(1) \neq 0. En effectuant un changement de variable, ou par un découpage judicieux de l’intervalle d’intégration, démontrer que : lim⁡n→+∞nIn=f(1)\lim_{n \to +\infty} n I_n = f(1)

  4. Application analytique Soit g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R} une fonction continue telle que pour tout entier n∈Nn \in \mathbb{N}, on a : ∫01xng(x) dx=0\int_0^1 x^n g(x) \, \text{d}x = 0 Que peut-on en déduire pour la fonction gg ? (On pourra s’appuyer sur le théorème d’approximation de Weierstrass ou sur les résultats précédents).

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Pour la convergence vers 00, majorez ∣f(x)∣|f(x)| sur le segment [0,1][0, 1] par une constante MM (en vertu du théorème des bornes atteintes).
  • Question 2 : L’intégration par parties est l’outil naturel pour faire apparaître du 1/n1/n. Veillez à bien vérifier les hypothèses de régularité.
  • Question 3 : C’est le cœur du problème. L’idée clé est que la masse de la mesure xn dxx^n \, \text{d}x se concentre au voisinage de 11 lorsque n→+∞n \to +\infty. Posez x=u1/nx = u^{1/n} ou isolez un voisinage de 11 de type [1−δ,1][1-\delta, 1].
  • Question 4 : Si tous les moments d’une fonction continue sur un segment sont nuls, que dire de l’intégrale de P(x)g(x)P(x)g(x) pour tout polynôme PP ? Utilisez ensuite Weierstrass.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Calcul direct et convergence vers 0

Section titled “1. Calcul direct et convergence vers 0”

  • Cas f(x)=exf(x) = e^x : À l’aide d’une intégration par parties (ou en reconnaissant une primitive si on généralise, mais ici nn est fixé), on a : In=∫01xnex dxI_n = \int_0^1 x^n e^x \, \text{d}x Ce calcul direct n’est pas immédiat pour tout nn, mais pour f(x)=1f(x) = 1, In=1n+1I_n = \frac{1}{n+1}. Pour f(x)=exf(x)=e^x, on peut utiliser la définition ou le lien avec la fonction gamma incomplète, ce n’est pas le cœur de la question. Contentons-nous de la minoration/majoration pour la limite.

  • Convergence vers 00 : Puisque ff est continue sur le segment [0,1][0, 1], elle y est bornée. Soit M=max⁡x∈[0,1]∣f(x)∣M = \max_{x \in [0, 1]} |f(x)| (qui existe d’après le théorème de Weierstrass). Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on a : ∣In∣≤∫01xn∣f(x)∣ dx≤M∫01xn dx=M[xn+1n+1]01=Mn+1|I_n| \le \int_0^1 x^n |f(x)| \, \text{d}x \le M \int_0^1 x^n \, \text{d}x = M \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{M}{n+1} Par encadrement (le théorème des gendarmes), comme lim⁡n→+∞Mn+1=0\lim_{n \to +\infty} \frac{M}{n+1} = 0, on conclut que : lim⁡n→+∞In=0\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

2. Comportement asymptotique (Cas C1\mathcal{C}^1)

Section titled “2. Comportement asymptotique (Cas C1\mathcal{C}^1C1)”

Supposons ff de classe C1\mathcal{C}^1 sur [0,1][0, 1]. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, intégrons par parties en posant u′(x)=xnu'(x) = x^n et v(x)=f(x)v(x) = f(x) : In=[xn+1n+1f(x)]01−∫01xn+1n+1f′(x) dxI_n = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} f(x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} f'(x) \, \text{d}x In=f(1)n+1−1n+1∫01xn+1f′(x) dxI_n = \frac{f(1)}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int_0^1 x^{n+1} f'(x) \, \text{d}x

Puisque f′f' est continue sur [0,1][0, 1], elle est bornée par une constante M′M'. D’après le résultat de la question 1 appliqué à f′f' et à l’exposant n+1n+1 : ∣∫01xn+1f′(x) dx∣≤M′n+2\left| \int_0^1 x^{n+1} f'(x) \, \text{d}x \right| \le \frac{M'}{n+2} Ainsi, le terme intégral est un o(1)o(1) devant 11, de sorte que : 1n+1∫01xn+1f′(x) dx=o(1n)\frac{1}{n+1} \int_0^1 x^{n+1} f'(x) \, \text{d}x = o\left(\frac{1}{n}\right)

On en déduit l’équivalent recherché : In∼n→+∞f(1)nI_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{f(1)}{n}

3. Détermination de la limite de nInn I_n (Cas continu)

Section titled “3. Détermination de la limite de nInn I_nnIn​ (Cas continu)”

Supposons simplement ff continue sur [0,1][0, 1]. Soit ε>0\varepsilon > 0. Par continuité de ff en 11, il existe δ∈]0,1[\delta \in ]0, 1[ tel que pour tout x∈[1−δ,1]x \in [1-\delta, 1], on a : ∣f(x)−f(1)∣≤ε|f(x) - f(1)| \le \varepsilon

Décomposons l’intégrale InI_n en deux morceaux : nIn=n∫01−δxnf(x) dx+n∫1−δ1xnf(x) dx=Jn+Knn I_n = n \int_0^{1-\delta} x^n f(x) \, \text{d}x + n \int_{1-\delta}^1 x^n f(x) \, \text{d}x = J_n + K_n

  • Majoration de ∣Jn∣|J_n| : Soit M=max⁡[0,1]∣f∣M = \max_{[0, 1]} |f|. ∣Jn∣≤n∫01−δxnM dx=Mn[xn+1n+1]01−δ=Mnn+1(1−δ)n+1≤M(1−δ)n+1|J_n| \le n \int_0^{1-\delta} x^n M \, \text{d}x = M n \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^{1-\delta} = M \frac{n}{n+1} (1-\delta)^{n+1} \le M (1-\delta)^{n+1} Puisque 0<1−δ<10 < 1-\delta < 1, lim⁡n→+∞(1−δ)n+1=0\lim_{n \to +\infty} (1-\delta)^{n+1} = 0. Il existe donc un rang N1N_1 tel que pour n≥N1n \ge N_1, ∣Jn∣≤ε|J_n| \le \varepsilon.

  • Étude de KnK_n : On écrit f(x)=f(1)+(f(x)−f(1))f(x) = f(1) + (f(x) - f(1)) : Kn=n∫1−δ1xnf(1) dx+n∫1−δ1xn(f(x)−f(1)) dxK_n = n \int_{1-\delta}^1 x^n f(1) \, \text{d}x + n \int_{1-\delta}^1 x^n (f(x) - f(1)) \, \text{d}x

    D’une part : n∫1−δ1xnf(1) dx=f(1)nn+1(1−(1−δ)n+1)n \int_{1-\delta}^1 x^n f(1) \, \text{d}x = f(1) \frac{n}{n+1} (1 - (1-\delta)^{n+1}) Dont la limite lorsque n→+∞n \to +\infty est f(1)f(1).

    D’autre part, sur [1−δ,1][1-\delta, 1], ∣f(x)−f(1)∣≤ε|f(x) - f(1)| \le \varepsilon : ∣n∫1−δ1xn(f(x)−f(1)) dx∣≤n∫1−δ1xnε dx≤εn∫01xn dx=εnn+1≤ε\left| n \int_{1-\delta}^1 x^n (f(x) - f(1)) \, \text{d}x \right| \le n \int_{1-\delta}^1 x^n \varepsilon \, \text{d}x \le \varepsilon n \int_0^1 x^n \, \text{d}x = \varepsilon \frac{n}{n+1} \le \varepsilon

En regroupant ces majorations, pour nn assez grand, nIuernn I_uern se trouve arbitrairement près de f(1)f(1). Rigoureusement : lim⁡n→+∞nIn=f(1)\lim_{n \to +\infty} n I_n = f(1)

4. Application analytique (Nullité des moments)

Section titled “4. Application analytique (Nullité des moments)”

Soit g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R} une fonction continue telle que ∀n\ainN,∫01xng(x) dx=0\forall n \ain \mathbb{N}, \int_0^1 x^n g(x) \, \text{d}x = 0.

Par linéarité de l’intégrale, pour tout polynôme P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X], on a : ∫01P(x)g(x) dx=0\int_0^1 P(x) g(x) \, \text{d}x = 0

D’après le théorème d’approximation de Weierstrass, il existe une suite de polynômes (Pk)k∈N(P_k)_{k \in \mathbb{N}} qui converge uniformément vers la fonction gg sur le segment [0,1][0, 1].

Passons à la limite sous le signe intégale (grâce à la convergence uniforme sur un segment) : lim⁡k→+∞∫01Pk(x)g(x) dx=∫01g(x)2 dx\lim_{k \to +\infty} \int_0^1 P_k(x) g(x) \, \text{d}x = \int_0^1 g(x)^2 \, \text{d}x

Or, pour tout kk, ∫01Pk(x)g(x) dx=0\int_0^1 P_k(x) g(x) \, \text{d}x = 0 par hypothèse. Donc : ∫01g(x)2 dx=0\int_0^1 g(x)^2 \, \text{d}x = 0

Puisque l’application x↦g(x)2x \mapsto g(x)^2 est continue, positive, et d’intégrale nulle sur [0,1][0, 1], on en déduit par positivité de l’intégrale de Riemann que : ∀x∈[0,1],g(x)2=0\forall x \in [0, 1], \quad g(x)^2 = 0 C’est-à-dire : g=0\boxed{g = 0}