Cours : Circuits électriques en régime continu/transitoire

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le cadre d’étude de l’électrocinétique en première année de BCPST repose sur l’approximation des régimes quasi-permanents (ARQP). Cette approximation est valide tant que les dimensions caractéristiques $d$ du circuit sont très inférieures à la longueur d’onde $\lambda$ associée aux signaux temporels étudiés ($\lambda = c/\nu$), soit $d \ll \frac{c}{\nu}$. Sous cette condition, les retards de propagation sont négligeables et les lois de l’électromagnétisme se simplifient en l’approximation quasi-statique.

Modèle des états de l’art (composants idéaux)

• Résistance $R$ ($\text{en }\Omega$) : Composant dissipatif régi par la loi d’Ohm locale intégrée : $u(t) = R \cdot i(t)$. Convention récepteur.
• Condensateur $C$ ($\text{en }\text{F}$) : Composant stockant l’énergie électrostatique, défini par sa charge $q(t) = C \cdot u_c(t)$ et l’intensité $i(t) = \frac{\text{d}q}{\text{d}t} = C \frac{\text{d}u_c}{\text{d}t}$.
• Bobine idéale $L$ ($\text{en }\text{H}$) : Composant stockant l’énergie magnétique, régi par la relation flux-courant $\Phi(t) = L \cdot i(t)$ et la tension aux bornes $u_l(t) = \frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} = L \frac{\text{d}i}{\text{d}t}$.

Lois de Kirchhoff

1. Loi des nœuds (conservation de la charge) : $\sum_{\text{nœuds}} i_k(t) = 0$ (en orientant les courants sortants positivement et entrants négativement).
2. Loi des mailles (conservativité du champ électrostatique irrotationnel en ARQP) : $\sum_{\text{maille}} u_k(t) = 0$ le long d’un parcours fermé orienté.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Établissement des équations différentielles (RC et RL)

1. Circuit RC série soumis à un échelon de tension

Considérons un générateur idéal de tension délivrant $E$ pour $t \geq 0$, branché en série avec une résistance $R$ et un condensateur $C$ initialement déchargé ($u_c(0^-) = 0$).

Par la loi des mailles : $E = u_R(t) + u_c(t) = R \cdot i(t) + u_c(t)$

En substituant la relation constitutive du condensateur $i(t) = C \frac{\text{d}u_c}{\text{d}t}$, on obtient l’équation différentielle linéaire du premier ordre : $\tau \frac{\text{d}u_c}{\text{d}t} + u_c(t) = E$

où $\tau = R \cdot C$ est le temps caractéristique (ou constante de temps) du circuit (dimensionnellement homogène à un temps, $\text{en }\text{s}$).

Résolution générale : La solution est la somme d’une solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière : $u_c(t) = A \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) + E$

À l’aide de la condition initiale $u_c(0^+) = u_c(0^-) = 0$ (continuité de la tension aux bornes d’un condensateur, car l’énergie stockée ne peut être infinie), on trouve $A = -E$. $u_c(t) = E \left(1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)$

2. Circuit RLC série libre

Considérons un circuit formé d’une résistance $R$, d’une bobine $L$ et d’un condensateur $C$ en série, bouclé sur lui-même après charge préalable du condensateur. La loi des mailles s’écrit : $L \frac{\text{d}i}{\text{d}t} + R \cdot i(t) + u_c(t) = 0$

En remplaçant $i(t) = C \frac{\text{d}u_c}{\text{d}t}$, on obtient l’équation différentielle du second ordre : $\frac{\text{d}^2 u_c}{\text{d}t^2} + \frac{R}{L} \frac{\text{d}u_c}{\text{d}t} + \frac{1}{LC} u_c(t) = 0$

Posons la pulsation propre $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ($\text{en }\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$) et le facteur de qualité $Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ (ou le coefficient d’amortissement $\lambda = \frac{R}{2L} = \frac{\omega_0}{2Q}$). L’équation canonique devient : $\frac{\text{d}^2 u_c}{\text{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\text{d}u_c}{\text{d}t} + \omega_0^2 u_c(t) = 0$

L’équation caractéristique associée est : $r^2 + \frac{\omega_0}{Q} r + \omega_0^2 = 0$

Le discriminant réduit $\Delta'$ est : $\Delta' = \left(\frac{\omega_0}{2Q}\right)^2 - \omega_0^2 = \omega_0^2 \left(\frac{1}{4Q^2} - 1\right)$

• Régime apériodique ($Q < 1/2$, $\Delta' > 0$) : Amortissement fort. Les racines sont réelles et distinctes.
• Régime critique ($Q = 1/2$, $\Delta' = 0$) : Retour à l’équilibre le plus rapide sans dépassement.
• Régime pseudo-périodique ($Q > 1/2$, $\Delta' < 0$) : Oscillations amorties de pseudo-pulsation $\omega = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$. La solution générale est de la forme : $u_c(t) = \exp\left(-\frac{\omega_0 t}{2Q}\right) \left[ A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \right]$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Méthode systématique d’analyse d’un circuit linéaire

1. Orientation : Fixer arbitrairement les flèches de tension et de courant pour chaque dipôle en respectant la convention récepteur (recommandée) ou générateur.
2. Recensement des variables d’état : Identifier les condensateurs (variables : $u_c$) et les bobines (variables : $i_l$). Ce sont les éléments dynamiques qui dictent l’ordre du système.
3. Application des lois de Kirchhoff : Écrire un système d’équations algébrico-différentielles (Loi des nœuds, Loi des mailles, relations constitutives).
4. Réduction : Substituer les courants et tensions intermédiaires pour obtenir une unique équation différentielle portant sur la grandeur d’intérêt.
5. Exploitation des conditions de continuité :
   • La tension aux bornes d’un condensateur $u_c(t)$ est toujours continue au cours du temps (sauf si $i(t)$ est une impulsion de Dirac, hors programme BCPST).
   • L’intensité traversant une bobine $i_l(t)$ est toujours continue au cours du temps (sauf si $u(t)$ est une impulsion de Dirac).
6. Détermination des constantes : Utiliser l’état initial ($t = 0^+$) juste après la commutation et l’état final (régime permanent établi, $t \to +\infty$, où les dérivées temporelles s’annulent : condensateur = circuit ouvert, bobine = fil).

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oubli de la continuité des grandeurs d’état : Utiliser abusivement la valeur en $t = 0^-$ directement dans l’équation différentielle au lieu de l’utiliser pour déterminer les constantes d’intégration après résolution générale.
2. Confusions dimensionnelles : Négliger de vérifier l’homogénéité de $\tau = RC$ ou $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ par analyse dimensionnelle (piège fréquent aux questions de type QCM ou pré-calculs).
3. Erreurs de signe dans les lois des mailles : Ne pas respecter rigoureusement l’orientation des flèches. Une tension fléchée dans le sens opposé au parcours de la maille entre de façon négative dans la somme algébrique.
4. Mauvaise interprétation du régime permanent : En régime permanent continu ($t \to +\infty$), un condensateur se comporte comme un circuit ouvert ($i = 0$) et une bobine idéale se comporte comme un fil ($u = 0$). L’oubli de ces équivalences bloque la détermination des conditions finales.