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CPGE Futur

Exercice 2 : Racines de polynômes et décomposition en fractions partielles

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Étude de cas”

Dans le cadre de l’étude des systèmes linéaires continus invariants (utilisés en automatique et en traitement du signal), la réponse fréquentielle d’un filtre ou la réponse temporelle d’un système dynamique est souvent modélisée par une fraction rationnelle de la variable complexe ss (représentant la pulsation de Laplace).

Soit n≥2n \ge 2 un entier. On considère le polynôme P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] défini par : P(X)=Xn−1P(X) = X^n - 1 Ce polynôme modélise les pôles d’un réseau de résonateurs couplés en physique des oscillations. L’objectif de ce problème est d’étudier les propriétés de décomposition en éléments simples (fractions partielles) de fractions de la forme Q(X)P(X)\frac{Q(X)}{P(X)}, où QQ est un polynôme de degré strictement inférieur à nn, et d’analyser la sensibilité de ces décompositions face à des incertitudes expérimentales sur les coefficients.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Rappels sur les racines de PP Donner l’ensemble des racines complexes de P(X)=Xn−1P(X) = X^n - 1, que l’on notera Un\mathbb{U}_n. Expliciter ces racines sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.

  2. Dérivée et simplicité des racines Calculer le polynôme dérivé P′P' et montrer que toutes les racines de PP sont simples. En déduire la valeur de la somme ∑ω∈Unωk\sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \omega^k pour tout entier k∈Zk \in \mathbb{Z}.

  3. Décomposition en éléments simples (DES) Soit Q∈C[X]Q \in \mathbb{C}[X] un polynôme tel que deg⁡(Q)<n\deg(Q) < n. On souhaite décomposer la fraction rationnelle F(X)=Q(X)P(X)F(X) = \frac{Q(X)}{P(X)} en éléments simples sur C(X)\mathbb{C}(X). Justifier l’existence de coefficients complexes λω\lambda_\omega (pour ω∈Un\omega \in \mathbb{U}_n) tels que : F(X)=∑ω∈UnλωX−ωF(X) = \sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \frac{\lambda_\omega}{X - \omega} Exprimer explicitement chaque coefficient λω\lambda_\omega en fonction de QQ et de P′P'.

  4. Application numérique et modélisation physique On pose n=4n = 4 et Q(X)=X2+1Q(X) = X^2 + 1. Déterminer la décomposition en éléments simples de F(X)=X2+1X4−1F(X) = \frac{X^2 + 1}{X^4 - 1} sur R(X)\mathbb{R}(X), puis sur C(X)\mathbb{C}(X).

  5. Analyse critique et limites du modèle (Ingénierie) En pratique industrielle, les coefficients des polynômes physiques ne sont jamais connus de manière exacte en raison des tolérances de fabrication des composants (résistances, condensateurs), entrainant une incertitude ε\varepsilon sur les racines de PP.

    • a) Si une racine ω\omega est déplacée de δω\delta \omega, analyser l’impact sur le calcul des résidus λω\lambda_\omega lorsque nn devient grand.
    • b) Discuter de la robustesse numérique de la décomposition en éléments simples pour les grands ordres (n≫1n \gg 1). Quel problème algorithmique majeur cela pose-t-il pour la simulation numérique sur ordinateur (représentation en virgule flottante) ?

💡 Pistes & Indications

Section titled “💡 Pistes & Indications”
  • Q1 & Q2 : Pensez à utiliser la formule d’Euler et la structure de groupe cyclique de Un\mathbb{U}_n. Pour la somme, utilisez la sommation des termes d’une suite géométrique ou les relations entre coefficients et racines.
  • Q3 : Utilisez la formule générale des résidus pour les pôles simples d’une fraction rationnelle (multiplication par (X−ω)(X-\omega) puis évaluation en ω\omega).
  • Q4 : Factorisez d’abord X4−1X^4 - 1 dans R[X]\mathbb{R}[X] puis dans C[X]\mathbb{C}[X]. Vous pouvez utiliser l’unicité de la décomposition ou la méthode par identification.
  • Q5 : Regardez le dénominateur P′(ω)=nωn−1P'(\omega) = n\omega^{n-1}. Lorsque nn grandit, observez la proximité des pôles sur le cercle unité et concluez sur le conditionnement du problème mathématique.

📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

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  1. Racines de PP Les racines de P(X)=Xn−1P(X) = X^n - 1 dans C\mathbb{C} sont les racines nn-ièmes de l’unité. L’ensemble Un\mathbb{U}_n s’écrit : Un={ωk=e2iπkn∣k∈⟦0,n−1⟧}\mathbb{U}_n = \left\{ \omega_k = e^{\frac{2i\pi k}{n}} \mid k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket \right\} Sous forme trigonométrique : ωk=cos⁡(2πkn)+isin⁡(2πkn)\omega_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right).

  2. Simplicité des racines et sommes On a P′(X)=nXn−1P'(X) = nX^{n-1}. Pour tout ω∈Un\omega \in \mathbb{U}_n, on a ω≠0\omega \neq 0, donc P′(ω)=nωn−1≠0P'(\omega) = n\omega^{n-1} \neq 0. Puisque les racines de PP sont des racines de P′P', elles sont toutes de multiplicité 1 : les racines de PP sont simples. Pour la somme :

    • Si kk n’est pas un multiple de nn, ω1k≠1\omega_1^k \neq 1, et la somme des termes d’une suite géométrique donne : ∑ω∈Unωk=1−(ω1k)n1−ω1k=1−(e2iπk)1−ω1k=0\sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \omega^k = \frac{1 - (\omega_1^k)^n}{1 - \omega_1^k} = \frac{1 - (e^{2i\pi k})}{1 - \omega_1^k} = 0
    • Si kk est un multiple de nn, chaque terme ωk=1\omega^k = 1, donc la somme vaut nn.

  3. Décomposition en éléments simples (DES) Puisque deg⁡(Q)<deg⁡(P)=n\deg(Q) < \deg(P) = n et que les nn racines ω\omega de PP sont simples, la théorie des fractions rationnelles garantit l’existence d’une unique décomposition de la forme : F(X)=∑ω∈UnλωX−ωF(X) = \sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \frac{\lambda_\omega}{X - \omega} Pour déterminer le coefficient λω\lambda_\omega, on multiplie par (X−ω)(X - \omega) et on évalue en X=ωX = \omega : λω=[(X−ω)Q(X)P(X)]X=ω=Q(ω)P′(ω)\lambda_\omega = \left[ (X - \omega) \frac{Q(X)}{P(X)} \right]_{X=\omega} = \frac{Q(\omega)}{P'(\omega)} En utilisant P′(ω)=nωn−1=nω−1P'(\omega) = n\omega^{n-1} = n\omega^{-1} (car ωn=1\omega^n = 1), on obtient λω=ωQ(ω)n\lambda_\omega = \frac{\omega Q(\omega)}{n}.

  4. Application numérique (n=4n=4) On a P(X)=X4−1=(X2−1)(X2+1)=(X−1)(X+1)(X−i)(X+i)P(X) = X^4 - 1 = (X^2-1)(X^2+1) = (X-1)(X+1)(X-i)(X+i). La fraction est F(X)=X2+1X4−1F(X) = \frac{X^2+1}{X^4-1}. On remarque immédiatement une simplification possible : F(X)=X2+1(X2−1)(X2+1)=1X2−1(pour X≠±i)F(X) = \frac{X^2+1}{(X^2-1)(X^2+1)} = \frac{1}{X^2-1} \quad (\text{pour } X \neq \pm i) Dans R(X)\mathbb{R}(X), la décomposition est : F(X)=1/2X−1−1/2X+1F(X) = \frac{1/2}{X-1} - \frac{1/2}{X+1} Dans C(X)\mathbb{C}(X), en poussant avec les pôles complexes ii et −i-i, on retrouve les coefficients via la formule générale : λ1=12+14(13)=12,λ−1=−12,λi=i2+14(i3)=0\lambda_1 = \frac{1^2+1}{4(1^3)} = \frac{1}{2}, \quad \lambda_{-1} = -\frac{1}{2}, \quad \lambda_i = \frac{i^2+1}{4(i^3)} = 0 (Le fait que λi=0\lambda_i = 0 s’explique par la simplification préalable par X2+1X^2+1).

  5. Analyse critique et limites du modèle (Ingénierie)

    • a) Sensibilité aux perturbations : Le dénominateur des résidus fait intervenir P′(ω)=nωn−1P'(\omega) = n\omega^{n-1}. Lorsque nn est grand, les pôles ω\omega sont extrêmement rapprochés sur le cercle unité (distance angulaire de 2πn\frac{2\pi}{n}). Une incertitude expérimentale δω\delta \omega sur la position des pôles induit une erreur relative sur P′(ω)P'(\omega) qui se propage directement aux coefficients λω\lambda_\omega.
    • b) Robustesse numérique : Pour des grands ordres (n>50n > 50), le calcul des coefficients de PP et de leur inversion conduit à un système linéaire de Vandermonde mal conditionné. En calcul scientifique (précision machine finie, type double IEEE 754), les erreurs d’arrondi se cumulent, menant à des instabilités majeures (phénomène de gigue numérique).
    • Conclusion critique du modèle : Bien que la solution analytique soit élégante et exacte sur le papier, la mise en œuvre numérique directe de cette décomposition pour des systèmes d’ordre élevé est fortement déconseillée en ingénierie. On préfère factoriser le polynôme PP en blocs de degré 2 (produit de trinômes réels à coefficients stables) pour garantir la robustesse des calculs en temps réel.