Cours : Équations différentielles

Cours de Mathématiques - MPSI

Chapitre : Équations Différentielles

Ce chapitre est fondamental en mathématiques pour la MPSI. Il s’agit d’étudier les méthodes de résolution des équations différentielles linéaires, principalement d’ordre 1 et 2, à coefficients constants ou non. La rigueur est de mise, tant dans l’énoncé des théorèmes d’existence et d’unicité que dans la manipulation des espaces vectoriels de solutions.

1. Généralités et Équations Différentielles Linéaires du 1er Ordre

Définition 1.1 (EDL1)

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ . Une équation différentielle linéaire du premier ordre (EDL1) sur $I$ est une équation de la forme : $(E_1) \quad a(t)x'(t) + b(t)x(t) = c(t)$ où $a, b, c : I \to \mathbb{K}$ ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) sont des fonctions continues, avec $a(t) \neq 0$ pour tout $t \in I$ . L’équation homogène (ou sans second membre) associée est : $(H_1) \quad a(t)x'(t) + b(t)x(t) = 0$

Théorème 1.2 (Structure de l’ensemble des solutions - EDL1)

L’ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $I$ est un espace affine de direction l’espace vectoriel des solutions de $(H_1)$ . Plus précisément, si $x_0$ est une solution particulière de $(E_1)$ , toute solution $x$ de $(E_1)$ s’écrit de manière unique sous la forme $x = x_0 + y$ , où $y$ est une solution de $(H_1)$ . De plus, l’espace des solutions de $(H_1)$ est une droite vectorielle (dimension 1).

Théorème 1.3 (Résolution de $(H_1)$ )

Soit $A$ une primitive de la fonction $t \mapsto \frac{b(t)}{a(t)}$ sur $I$ . Les solutions de $(H_1)$ sur $I$ sont les fonctions $y$ définies par : $y(t) = \lambda e^{-A(t)}, \quad \lambda \in \mathbb{K}$

Méthode 1.4 : Variation de la constante

Pour résoudre $(E_1)$ complète, on cherche une solution particulière sous la forme $x_p(t) = \lambda(t) e^{-A(t)}$ , où $\lambda$ est une fonction dérivable sur $I$ . En injectant $x_p$ dans $(E_1)$ , on obtient une condition simple sur $\lambda'(t)$ , ce qui permet de déterminer $\lambda(t)$ par simple integration.

2. Équations Différentielles Linéaires du 2nd Ordre à Coefficients Constants

Définition 2.1 (EDL2)

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants une équation de la forme : $(E_2) \quad a x''(t) + b x'(t) + c x(t) = f(t)$ où $a, b, c \in \mathbb{K}$ avec $a \neq 0$ , et $f : I \to \mathbb{K}$ est une fonction continue. L’équation homogène associée est : $(H_2) \quad a x''(t) + b x'(t) + c x(t) = 0$

Définition 2.2 (Équation caractéristique)

On appelle équation caractéristique de $(H_2)$ l’équation polynomiale d’inconnue r : $(EC) \quad a r^2 + b r + c = 0$ Soit $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant de $(EC)$ .

Théorème 2.3 (Solutions de $(H_2)$ à coefficients réels)

L’ensemble des solutions de $(H_2)$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension 2. Sa structure dépend du signe de $\Delta$ :

Si $\Delta > 0$ : $(EC)$ admet deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$ . Les solutions sont de la forme : $t \mapsto \lambda_1 e^{r_1 t} + \lambda_2 e^{r_2 t}$ , avec $(\lambda_1, \lambda_2) \in \mathbb{R}^2$ .
Si $\Delta = 0$ : $(EC)$ admet une racine réelle double $r_0 = -\frac{b}{2a}$ . Les solutions sont de la forme : $t \mapsto (\lambda_1 + \lambda_2 t) e^{r_0 t}$ , avec $(\lambda_1, \lambda_2) \in \mathbb{R}^2$ .
Si $\Delta < 0$ : $(EC)$ admet deux racines complexes conjuguées $r_1, r_2 = \alpha \pm i\beta$ (avec $\beta > 0$ ). Les solutions réelles sont de la forme : $t \mapsto e^{\alpha t}(\lambda_1 \cos(\beta t) + \lambda_2 \sin(\beta t))$ , avec $(\lambda_1, \lambda_2) \in \mathbb{R}^2$ .

3. Théorème de Cauchy-Lipschitz (Admis / Hors-programme partiel en MPSI, indispensable en pratique)

Théorème 3.1 (Cauchy-Lipschitz linéaire)

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ , $a, b, c$ des fonctions continues sur $I$ avec $a(t) \neq 0$ . Pour tout $t_0 \in I$ et pour tout $(x_0, x_1) \in \mathbb{K}^2$ , il existe une et une seule solution maximale $x : I \to \mathbb{K}$ de l’équation $(E)$ (ordre 1 ou 2) vérifiant les conditions initiales : $x(t_0) = x_0 \quad \text{et} \quad x'(t_0) = x_1$

Piège fondamental : Ce théorème garantit l’unicité globale pour les équations linéaires sur l’intervalle de continuité des coefficients. Ne l’appliquez jamais sans avoir vérifié que $a(t)$ ne s’annule pas sur l’intervalle considéré.

4. Méthodes de Recherche de Solutions Particulières pour $(E_2)$

Lorsque le second membre $f(t)$ a une forme particulière, on utilise la méthode par superposition ou par ansatz.

Cas 1 : Second membre exponentiel-polynôme

Si $f(t) = P(t) e^{\gamma t}$ où $P$ est un polynôme et $\gamma \in \mathbb{K}$ :

On cherche une solution particulière sous la forme $x_p(t) = Q(t) e^{\gamma t}$ , où $Q$ est un polynôme de même degré que $P$ .
Piège de résonance : Si $\gamma$ est racine de l’équation caractéristique $(EC)$ , il faut multiplier le polynôme $Q$ par $t^k$ , où $k$ est l’ordre de multiplicité de $\gamma$ comme racine de $(EC)$ ( $k=1$ ou $k=2$ ).

Cas 2 : Principe de superposition

Si $f(t) = f_1(t) + f_2(t)$ , et si l’on connaît une solution particulière $x_{p,1}$ pour $f_1$ et $x_{p,2}$ pour $f_2$ , alors $x_p = x_{p,1} + x_{p,2}$ est une solution particulière pour $f$ .

5. Pièges à Éviter en CPGE

Oubli du domaine de validité : Résoudre une équation sans préciser l’intervalle $I$ sur lequel les théorèmes s’appliquent (attention aux zéros de $a(t)$ ).
Division par une fonction susceptible de s’annuler : Pour diviser par $a(t)$ , il faut impérativement travailler sur des intervalles où $a(t) \neq 0$ et recoller les solutions si nécessaire (hors-programme strict en MPSI mais source d’erreurs conceptuelles).
Confusion entre solution générale et solution avec conditions initiales : Ne pas oublier de déterminer les constantes $\lambda_1, \lambda_2$ seulement après avoir écrit la solution générale complète.
Erreur de signe dans l’exposant : Retenez bien que la primitive est précédée d’un signe " $-$ " dans $e^{-A(t)}$ pour le premier ordre.