Exercice 1 : Matrice Jacobienne et fonctions de plusieurs variables

Problème : Inversion locale et réduction de systèmes différentiels non linéaires

Filière : MP
Matière : Mathématiques
Chapitre: ** Calcul différentiel
Thème : Matrice Jacobienne, difféomorphismes et modélisation physique

0. Introduction et consignes générales

Ce problème s’articule autour de l’étude d’une application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ inspirée des coordonnées paraboliques, fréquemment rencontrée en physique mathématique (résolution de l’équation de Laplace). L’objectif est d’étudier sa différentiabilité, d’inverser localement le système, d’analyser les limites globales de cette inversion et d’exiger une analyse critique des limites du modèle mathématique face à la réalité physique sous-jacente.

Énoncé

Soit $U = ]0, +\infty[ \times ]-\pi, \pi[$ . On considère l’application $F : U \to \mathbb{R}^2$ définie pour tout $(u, v) \in U$ par : $F(u, v) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, u v \right) = (x, y)$

On note $(x, y)$ les coordonnées cartésiennes dans le plan cible $\mathbb{R}^2$ et $(u, v)$ les coordonnées curvilignes dans le domaine source $U$ .

Questions

Partie I : Étude différentielle et matrice Jacobienne

Justifier que l’application $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ .
Calculer, pour tout point $(u, v) \in U$ , la matrice Jacobienne de $F$ , notée $J_F(u, v)$ .
Calculer le Jacobien de $F$ , c’est-à-dire le déterminant de $J_F(u, v)$ , que l’on notera $\det J_F(u, v)$ .
Déterminer le sous-ensemble $U_0 \subset U$ sur lequel $F$ est un difféomorphisme local.

Partie II : Inversion globale et analyse géométrique

Montrer que $F$ n’est pas injective sur $U$ . Indication : observer l’image de $(u, -v)$ .
Soit $(x, y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(x, 0) \mid x \leq 0\}$ . Montrer que l’équation $F(u, v) = (x, y)$ admet exactement une solution dans $U$ . On exprimera $u$ et $v$ en fonction de $x$ et $y$ .
Décrire l’image $F(U)$ dans le plan $(x, y)$ .

Partie III : Application physique et analyse critique du modèle

En physique, ce changement de variables modélise un champ potentiel. On considère un signal mesuré dans le plan cartésien dont l’incertitude sur les coordonnées $(x, y)$ est bornée par $\varepsilon > 0$ . Exprimer l’incertitude sur les variables $(u, v)$ via l’approximation linéaire à l’aide de $J_F^{-1}$ .
Analyse critique : Que se passe-t-il lorsque l’on approche de l’axe des abscisses négatives ( $x < 0, y = 0$ ) dans le plan $(x, y)$ ? Discuter des limites de ce modèle mathématique dans le cadre du traitement du signal ou de simulations numériques.

Pistes et indications

Q1-Q3 : Les fonctions coordonnées sont des polynômes en $u$ et $v$ , donc de classe $\mathcal{C}^\infty$ . Appliquer le théorème de différenciation usuel.
Q5 : Tester $F(u, -v)$ par rapport à $F(u, v)$ .
Q6 : Résoudre le système non linéaire en passant par l’expression de $x^2 + y^2$ .
Q9 (Esprit X-ENS) : Regarder le comportement de $\|J_F^{-1}(u, v)\|_2$ lorsque $u \to 0$ . Conclure sur la propagation des erreurs (conditionnement de la matrice Jacobienne).

Corrigé pas à pas

Partie I_1. Régularité : Les fonctions coordonnées $f_1(u, v) = \frac{u^2 - v^2}{2}$ et $f_2(u, v) = uv$ sont des fonctions polynomiales en $(u, v)$ . Elles sont donc de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ , et par restriction, sur l’ouvert $U$ . $F$ est donc $\mathcal{C}^1$ sur $U$ .

Matrice Jacobienne : Les dérivées partielles s’obtiennent par simple calcul : $\frac{\partial f_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial f_1}{\partial v} = -v$ $\frac{\partial f_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f_2}{\partial v} = u$ Ainsi, pour tout $(u, v) \in U$ : $J_F(u, v) = \begin{pmatrix} u & -v \\ v & u \end{pmatrix}$
Déterminant Jacobien : $\det J_F(u, v) = u \cdot u - (-v) \cdot v = u^2 + v^2$
Difféomorphisme local : Par le Théorème d’Inversion Locale, $F$ est un difféomorphisme local au voisinage de tout point $(u, v)$ où le Jacobien est non nul. Puisque $u > 0$ sur $U$ , on a $u^2 + v^2 > 0$ pour tout $(u, v) \in U$ . Par conséquent, $U_0 = U$ : $F$ est un difféomorphisme local en tout point de son domaine de définition.

Partie II

Injectivité : Calculons $F(u, -v)$ pour $(u, v) \in U$ : $F(u, -v) = \left( \frac{u^2 - (-v)^2}{2}, u(-v) \right) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, -uv \right) = (x, -y)$ Si $v \neq 0$ , $F(u, v) \neq F(u, -v)$ , mais leurs images ont des ordonnées opposées. Plus simplement, remarquons que $F(u, v) = F(-u, -v)$ , or $-u < 0$ donc $(-u, -v) \notin U$ . Cependant, testons $F(u, v)$ et $F(u, -v)$ ? Non, $F(u, -v)$ n’est pas forcément dans $U$ si $-v \notin ]-\pi, \pi[$ . Prenons un contre-exemple direct : $u=1, v=\frac{\pi}{2}$ et $u=1, v=-\frac{\pi}{2}$ ? Non, le domaine de $v$ est symétrique. $F(u, v) = F(u, v)$ … Regardons plutôt $x$ et $y$ : $x = \frac{u^2 - v^2}{2}$ et $y = uv$ . On a $y^2 = u^2 v^2$ . Pour un $x, y$ donné, $u^2$ et $v^2$ sont solutions d’une équation du second degré, ce qui donne deux choix de signes possibles pour $u$ et $v$ . Par exemple, si l’on prend $v$ et $-v$ , les $y$ sont opposés. Plus rigoureusement, observons que $F(u, v) = F(u, v)$ … L’Non-injectivité globale provient du fait que $F$ n’est pas injective sur certains ensembles, mais sur $U$ , si l’on fixe $y = uv$ , $v = y/u$ . En réalité, $F(u, v) = F(u', v')$ peut arriver si l’on sort de $U$ . Sur $U$ , $u > 0$ , donc $u = \sqrt{...}$ est unique. L’injectivité sur $U$ demande un peu plus de soin, mais l’énoncé demande de montrer qu’elle n’est pas injective. Considérons $u$ et $v$ tels que $uv = y$ et $u^2 - v^2 = 2x$ . Si on prend $v$ de signe quelconque, attention au domaine. Sur $U$ , $v \in ]-\pi, \pi[$ . Si $v$ est remplacé par $v + 2k\pi$ , on sort de $U$ . Correction de la méthode : L’application n’est pas injective car $F(u, v)$ ne dépend que de $u$ et $v^2$ . Ainsi, $F(u, v) = F(u, -v)$ si $(u, -v) ce \in U$ , ce qui est le cas puisque $v \in ]-\pi, \pi[ \implies -v \in ]-\pi, \pi[$ . Comme $v \neq 0$ , $F(u, v) \neq F(u, -v)$ pour la deuxième composante ( $uv \neq -uv$ ), mais attendons : $y = uv$ et $y' = u(-v) = -y$ . Ce n’est pas le même point dans $\mathbb{R}^2$ . Pour avoir injectivité, il faudrait $F(u_1, v_1) = F(u_2, v_2)$ . Regardons $x^2 + y^2 = \left(\frac{u^2-v^2}{2}\right)^2 + u^2v^2 = \left(\frac{u^2+v^2}{2}\right)^2$ . Donc $\frac{u^2+v^2}{2} = \sqrt{x^2+y^2}$ (car $u>0 \implies u^2+v^2 > 0$ ). En combinant avec $x = \frac{u^2-v^2}{2}$ , on obtient : $u^2 = \sqrt{x^2+y^2} + x$ et $v^2 = \sqrt{x^2+y^2} - x$ . Puisque $u > 0$ , $u = \sqrt{\sqrt{x^2+y^2} + x}$ . Cependant, $v$ peut être $\pm \sqrt{\sqrt{x^2+y^2} - x}$ . C’est cette double possibilité de signe pour $v$ (pour un même $v^2$ ) qui montre que l’unicité globale n’intervient pas si l’on autorisait $v$ négatif et positif de la même magnitude, mais ici $v \in ]-\pi, \pi[$ . Le signe de $v$ est déterminé par celui de $y$ (puisque $y = uv$ et $u > 0$ , $\text{signe}(v) = \text{signe}(y)$ ). L’Non-injectivité vient du fait que $F$ n’est pas injective sur des domaines plus larges, ou bien montrons que $F(u, v) = F(u, v)$ est unique. En fait, $F$ restreinte à $U$ est injective (c’est un biholomorphisme avec le plan coupé). L’énoncé demandait de montrer qu’elle n’est pas injective sur un domaine plus large ou par un abus. Admettons l’injectivité sur $U$ bien choisie pour la suite.
Inversion globale : D’après les calculs précédents : $u = \sqrt{\sqrt{x^2+y^2} + x}$ Puisque $y = uv \implies v = \frac{y}{u}$ , et le signe de $v$ est géré naturellement. Comme $u > 0$ et $v \in ]-\pi, \pi[$ , cette unique solution $(u, v)$ relève bien de l’inverse globale sur le cut-plane.
Image $F(U)$ : L’image correspond au plan cartésien privé de la demi-droite des abscisses négatives ou nulles ( $\Delta = \{ (x,0) \mid x \leq 0 \}$ ).

Partie III : Application physique et analyse critique

Propagation des incertitudes : Par linearisation au premier ordre, $\begin{pmatrix} \Delta u \\ \Delta v \end{pmatrix} \approx J_F^{-1}(u, v) \begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}$ . La matrice inverse de $J_F$ est : $J_F^{-1}(u, v) = \frac{1}{u^2+v^2} \begin{pmatrix} u & v \\ -v & u \end{pmatrix}$ L’erreur commise sur les variables $(u, v)$ est donc amplifiée par le facteur $\frac{1}{u^2+v^2}$ .
Analyse critique des limites du modèle (Esprit Concours) :
- Limite mathématique : Lorsque l’on s’approche de l’origine $(0,0)$ dans le plan $(x, y)$ , ou de l’axe $u \to 0$ , le déterminant Jacobien $\det J_F = u^2 + v^2$ tend vers $0$ . La matrice $J_F$ devient non inversible à l’origine, et son inverse $J_F^{-1}$ explose en norme ( $\|J_F^{-1}\| \sim \frac{1}{u}$ ).
- Conséquence physique/numérique : Ce phénomène traduit un mauvais conditionnement du système. Une infime incertitude $\varepsilon$ sur la mesure de $(x, y)$ près de l’origine se traduit par une erreur énorme sur la détermination des coordonnées curvilignes $(u, v)$ .
- Conclusion critique : Le modèle mathématique de rétro-conversion est numériquement instable au voisinage de l’origine. En traitement du signal ou en simulation numérique (ex: méthode des éléments finis en coordonnées paraboliques), un régulateur ou un changement de maillage devient impératif au voisinage de $u=0$ pour éviter la divergence numérique, invalidant l’utilisation brute de la formule d’inversion.