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CPGE Futur

Exercice 1 : Loi de Faraday

Problème guidé : Étude d’un frein magnétique à courants de Foucault

Section titled “Problème guidé : Étude d’un frein magnétique à courants de Foucault”

Énoncé

Section titled “Énoncé”

Le dispositif étudié est un modèle idéalisé de frein magnétique, souvent rencontré dans les systèmes de sécurité (wagons de montagnes russes, camions poids lourds).

On considère une spire carrée indéformable, de côté aa, de résistance électrique RR et de masse mm. Cette spire se déplace dans le plan (Oxz)(Oxz) sous l’action de la pesanteur g⃗=−ge⃗z\vec{g} = -g \vec{e}_z.

À l’instant ucˊuć tt, la position de son centre de masse est notée z(t)e⃗zz(t)\vec{e}_z. Le mouvement est rectiligne vertical.

La région de l’espace définie par z∈[−h,0]z \in [-h, 0] (où h>0h > 0) est le siège d’un champ magnétique uniforme, permanent et orthogonal au plan de la spire, soit : B⃗=B0e⃗ypour z∈[−h,0]\vec{B} = B_0 \vec{e}_y \quad \text{pour } z \in [-h, 0] B⃗=0⃗ailleurs\vec{B} = \vec{0} \quad \text{ailleurs}

On négligera l’inductance propre de la spire devant sa résistance RR (approximation quasi-stationnaire de l’inductance ou régime transitoire ohmique).

Questions

Section titled “Questions”
  1. Analyse des symétries et orientation : Préciser la direction du vecteur champ magnétique. En déduire le choix légitime du contour orienté pour appliquer la loi de Faraday lors de l’entrée de la spire dans la zone champ magnétique.
  2. Calcul du flux : Exprimer le flux magnétique Φ(t)\Phi(t) à travers la spire en fonction de sa position z(t)z(t) lorsque celle-ci pénètre partiellement dans la zone de champ (pour 0≤z(t)+h≤a0 \le z(t) + h \le a).
  3. Loi de Faraday et force de Laplace : En déduire la force électromotrice induite e(t)e(t), puis l’intensité du courant induit i(t)i(t) circulant dans la spire. Déterminer la force de Laplace résultante F⃗Laplace\vec{F}_{\text{Laplace}} s’exerçant sur la spire lors de cette phase d’entrée.
  4. Équation différentielle du mouvement : Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v(z)=z˙(t)v(z) = \dot{z}(t) de la spire lors de sa traversée de la zone de champ. On posera une constante de temps caractéristique τ\tau du système que l’on explicitera.
  5. Analyse critique et ordres de grandeur :
    • Application numérique : On donne a=10 cma = 10\text{ cm}, R=5.0×10−3 ΩR = 5.0 \times 10^{-3} \ \Omega, m=20 gm = 20\text{ g}, B0=0.5 TB_0 = 0.5\text{ T} et g=9.81 m⋅s−2g = 9.81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}. Calculer la valeur numérique de τ\tau et de la vitesse limite atteinte si la zone de champ est suffisamment grande.
    • Discuter la validité de l’approximation quasi-stationnelle (négligeabilité de l’inductance propre LL) en comparant les échelles de temps du système.

Pistes

Section titled “Pistes”
  • Piste 1 : Pour le calcul du flux, délimitez bien la surface en intersection entre le carré de la spire et la bande de champ magnétique [−h,0][-h, 0]. Attention au sens de parcours de la spire (règlement du tire-bouchon pour l’orientation de la normale associée au flux).
  • Piste 2 : La force de Laplace globale se calcule en sommant les forces sur les quatre côtés, mais les côtés horizontaux situés hors champ ou dans le champ uniforme subissent des forces dont les effets se comparent facilement. Seul le côté coupé par la frontière du champ contribue au freinage.
  • Piste 3 : Pensez à vérifier l’homogénéité de vos expressions littérales avant de passer à l’application numérique.

Corrigé

Section titled “Corrigé”

1. Orientation et choix du contour

Section titled “1. Orientation et choix du contour”

Le champ magnétique est dirigé selon e⃗y\vec{e}_y. Par convention, si l’on choisit le vecteur normal n⃗\vec{n} de la surface de la spire orienté selon +e⃗y+\vec{e}_y, le contour orienté de la spire est choisi dans le sens trigonométrique direct dans le plan (Oxz)(Oxz) par la règle de la main droite.

2. Calcul du flux magnétique

Section titled “2. Calcul du flux magnétique”

La surface de la spire est de S=a2S = a^2. Le champ magnétique est non nul uniquement pour z∈[−h,0]z \in [-h, 0]. Lorsque la spire pénètre dans la zone, le haut de la spire est à l’ordonnée z+a/2z + a/2 et le bas à z−a/2z - a/2. La phase d’entrée correspond à l’intervalle où le bord inférieur de la spire franchit z=−hz = -h, soit −h≤z−a/2≤0-h \le z - a/2 \le 0 et z+a/2≥−hz + a/2 \ge -h.

En phase d’entrée partielle (z−a/2≥−hz - a/2 \ge -h et z+a/2≤0z + a/2 \le 0, selon les conventions d’axe, formalisons plus simplement par la hauteur immergée ZimmZ_{\text{imm}}) : Le flux à travers la spire de surface immergée a×(z+h+a/2)a \times (z + h + a/2) (si on pose zz comme le centre) vaut : Φ(t)=B0×a×[−(z(t)−a/2)]pour −h−a/2≤z(t)≤−h+a/2\Phi(t) = B_0 \times a \times [-(z(t) - a/2)] \quad \text{pour } -h - a/2 \le z(t) \le -h + a/2 Correction rigoureuse de cinématique : Soit zz l’altitude du côté inférieur de la spire. La zone de champ est [−h,0][-h, 0]. Le flux est non nul pour −a≤z≤0-a \le z \le 0. Pour z∈[−a,0]z \in [-a, 0] (spire partiellement ou totalement entrée), la portion immergée a pour hauteur zz (si z∈[−a,0]z \in [-a, 0] et z+a>0z+a > 0). Plus simplement, exprimons avec la vitesse v=z˙v = \dot{z}. Lorsque le bord inférieur entre dans la zone, la surface immergée est a×(0−z)a \times (0 - z) si zz va de −a-a à 00. Soit Φ(t)=B0a(0−z(t))\Phi(t) = B_0 a (0 - z(t)) (en phase d’entrée par le haut, avec zz négatif croissant de −h−a-h-a à −h-h). Reprenons proprement avec z(t)z(t) position du centre : Φ(t)=B0amin⁡(a,max⁡(0,−z(t)−h2… ))\Phi(t) = B_0 a \min\left(a, \max\left(0, -z(t) - \frac{h}{2}\dots\right)\right) Formulation standard par variation de surface : Φ(t)=B0⋅Simm(t)\Phi(t) = B_0 \cdot S_{\text{imm}}(t). Si le côté inférieur de la spire d’altitude zinf(t)z_{\text{inf}}(t) entre dans la zone avec zinf∈[−h,0]z_{\text{inf}} \in [-h, 0] : Φ(t)=B0a(0−zinf(t))(si la spire descend de haut en bas dans la zone)\Phi(t) = B_0 a (0 - z_{\text{inf}}(t)) \quad \text{(si la spire descend de haut en bas dans la zone)}

3. Force électromotrice et Force de Laplace

Section titled “3. Force électromotrice et Force de Laplace”

D’après la loi de Faraday, la f.e.m. induite est : e(t)=−dΦdt=−B0a(−dzinfdt)=B0avze(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -B_0 a \left(-\frac{dz_{\text{inf}}}{dt}\right) = B_0 a v_z où vz=z˙infv_z = \dot{z}_{\text{inf}} est la vitesse de descente. Comme la spire est en chute, vz<0v_z < 0. L’intensité du courant induit est (loi d’Ohm macroscopique, résistance RR) : i(t)=e(t)R=B0avzRi(t) = \frac{e(t)}{R} = \frac{B_0 a v_z}{R} La force de Laplace s’exerce essentiellement sur le segment horizontal traversé par la frontière du champ magnétique (où B⃗≠0⃗\vec{B} \neq \vec{0} d’un seul côté, créant une discontinuité du champ ou une variation spatiale). La force élémentaire est dF⃗=i dl⃗∧B⃗\vec{dF} = i \, \vec{dl} \wedge \vec{B}. Pour le segment horizontal de longueur aa parcouru par le courant II : F⃗Laplace=I (ae⃗x)∧(B0e⃗y)=IaB0e⃗z=B02a2vzRe⃗z\vec{F}_{\text{Laplace}} = I \, (a \vec{e}_x) \wedge (B_0 \vec{e}_y) = I a B_0 \vec{e}_z = \frac{B_0^2 a^2 v_z}{R} \vec{e}_z Puisque vz<0v_z < 0 (descente), cette force est orientée vers le haut (e⃗z\vec{e}_z), ce qui traduit qualitativement la loi de Lenz (opposition à la cause qui lui a donne naissance, i.e., la chute).

4. Équation différentielle du mouvement

Section titled “4. Équation différentielle du mouvement”

En appliquant le PFD à la spire dans la zone de champ : mdvzdt=−mg+FLaplace,z=−mg+B02a2Rvzm \frac{dv_z}{dt} = -mg + F_{\text{Laplace}, z} = -mg + \frac{B_0^2 a^2}{R} v_z Soit l’équation différentielle : dvzdt+1τvz=−g\frac{dv_z}{dt} + \frac{1}{\tau} v_z = -g avec la constante de temps du freinage : τ=mRB02a2\tau = \frac{m R}{B_0^2 a^2}

5. Analyse critique et ordres de grandeur

Section titled “5. Analyse critique et ordres de grandeur”

  • Application numérique : τ=20×10−3×5.0×10−3(0.5)2×(0.1)2=10−425×10−4×10−2=10−42.5×10−5=4.0×10−1 s=0.40 s\tau = \frac{20 \times 10^{-3} \times 5.0 \times 10^{-3}}{(0.5)^2 \times (0.1)^2} = \frac{10^{-4}}{25 \times 10^{-4} \times 10^{-2}} = \frac{10^{-4}}{2.5 \times 10^{-5}} = 4.0 \times 10^{-1} \text{ s} = 0.40 \text{ s} La vitesse limite (si la zone de champ est suffisamment vaste pour atteindre le régime permanent dv/dt=0dv/dt = 0) est : vlim=−gτ=−9.81×0.40≈−3.9 m⋅s−1v_{\text{lim}} = -g \tau = -9.81 \times 0.40 \approx -3.9 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  • Limites du modèle (Analyse critique) :

    1. Négligeabilité de l’inductance propre LL : L’équation électrique exacte serait e(t)=Ri+Ldidte(t) = Ri + L \frac{di}{dt}. Le régime transitoire inductif a pour caractéristique τL=LR\tau_L = \frac{L}{R}. Pour une spire carrée de décimètre, L∼μ0a≈4π×10−7×0.1≈1.3×10−7 HL \sim \mu_0 a \approx 4\pi \times 10^{-7} \times 0.1 \approx 1.3 \times 10^{-7} \text{ H}. Ici, τL∼1.3×10−75×10−3≈2.6×10−5 s\tau_L \sim \frac{1.3 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}} \approx 2.6 \times 10^{-5} \text{ s}. Puisque τL≪τ\tau_L \ll \tau (2.6×10−5 s≪0.40 s2.6 \times 10^{-5} \text{ s} \ll 0.40 \text{ s}), l’approximation quasi-stationnelle est amplement validée.
    2. Effets thermiques et limites de résistance : Le courant induit dissipe de l’énergie par effet Joule (PJ=Ri2P_J = R i^2). Pour une vitesse de 4 m⋅s−14 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, i≈0.5×0.1×45×10−3=40 Ai \approx \frac{0.5 \times 0.1 \times 4}{5 \times 10^{-3}} = 40 \text{ A}. Une telle intensité dans une résistance de 5 mΩ5 \text{ m}\Omega génère une puissance thermique RI2≈8 WRI^2 \approx 8 \text{ W}, ce qui peut provoquer un échauffement rapide et modifier la résistivité R(T)R(T) du matériau (hypothèse de RR constante discutable sur un usage prolongé).