Exercice 1 : Hacheurs

Problème GUIDÉ : Étude d’un hacheur série alimentant une charge inductive

Énoncé

Les hacheurs sont des convertisseurs statiques continu-continu très utilisés en électrotechnique pour faire varier la vitesse des moteurs à courant continu ou pour adapter des niveaux de tension (systèmes embarqués, énergies renouvelables).

On s’intéresse dans ce problème à un hacheur série (ou abaisseur de tension, ou buck) alimentant une charge industrielle modélisée par une association en série d’une résistance $R$, d’une inductance $L$ et d’une f.e.m. $E$ (modèle d’un moteur à courant continu).

Le schéma de principe est le suivant :

• Une source de tension continue idéale $E_0 = \text{100 V}$.
• Un interrupteur parfait $K$ commandé électroniquement (transistor de type IGBT ou MOSFET), ouvert ou fermé périodiquement à la fréquence $f = \text{20 kHz}$.
• La période de découpage est notée $T = 1/f$. Sur une période, $K$ est fermé durant l’intervalle $[0, \alpha T]$ et ouvert durant $[\alpha T, T]$, où $\alpha \in ]0, 1[$ est le rapport cyclique.
• Une diode de roue libre $D$ idéale, montée en antiparallèle aux bornes de la charge.
• La charge est caractérisée par : $R = \text{2 }\Omega$, $L = \text{10 mH}$ et $E = \text{20 V}$.

On se place en régime permanent établi. On note $i(t)$ le courant traversant la charge et $u_N(t)$ la tension aux bornes de l’ensemble de la charge $(R, L, E)$.

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Questions

I. Analyse préliminaire et régimes de fonctionnement

1. Rappeler le rôle de la diode de roue libre $D$ dans ce montage. Que se passerait-il en son absence lors de l’ouverture de l’interrupteur $K$ ?
2. Exprimer la tension $u_N(t)$ aux bornes de la charge en fonction de $E_0$, de l’état de l’interrupteur $K$ et de la conduction de la diode $D$.

II. Étude en conduction continue

On suppose dans cette partie que le courant $i(t)$ reste strictement positif sur toute la période (conduction continue). On pose $I_{\min} = i(0)$ et $I_{\max} = i(\alpha T)$.

3. Établir l’équation différentielle régissant l’évolution du courant $i(t)$ lorsque l’interrupteur $K$ est fermé ($0 < t < \alpha T$).
4. Résoudre cette équation et exprimer $i(t)$ en fonction de $E_0$, $E$, $R$, $\tau = L/R$, $I_{\min}$ et du temps $t$.
5. Établir de même l’expression du courant $i(t)$ lorsque l’interrupteur $K$ est ouvert ($\alpha T < t < T$).
6. En écrivant la condition de périodicité du courant $i(0) = i(T)$, exprimer explicitement $I_{\min}$ et $I_{\max}$ en fonction de $E_0$, $E$, $R$, $\alpha$, $\tau$ et $T$.
7. Calculer la valeur moyenne $\langle u_N \rangle$ de la tension aux bornes de la charge sur une période. Conclure sur la fonction du convertisseur.

III. Analyse critique et limites du modèle

8. Déterminer la condition analytique portant sur les paramètres du système pour que l’hypothèse de conduction continue soit valide ($\min(i(t)) > 0$).
9. Calculer la valeur limite $\alpha_{\text{lim}}$ du rapport cyclique en deçà de laquelle le hacheur entre en conduction discontinue pour les valeurs numériques de l’énoncé.
10. Esprit Concours (Analyse critique) : Les composants utilisés (interrupteur $K$, diode $D$, source $E_0$) ont été qualifiés d’« idéaux ». Discuter qualitativement de l’impact des non-idéalités réelles sur le rendement du convertisseur et sur la forme des signaux à haute fréquence ($f = \text{20 kHz}$).

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Pistes et indications

• Q1 : Penser à la surtension aux bornes d’une inductance parcourue par un courant lors d’une interruption brutale ($\text{loi de Lenz} : u = L \frac{di}{dt}$).
• Q4 & Q5 : Séparer l’étude en deux phases temporelles. La solution générale d’une équation linéaire du 1er ordre est la somme d’une solution particulière (régime permanent) et d’une solution homogène (transitoire en $\exp(-t/\tau)$).
• Q6 : Utiliser la continuité du courant à $t = \alpha T$ et la périodicité. Résoudre le système linéaire en $(I_{\min}, I_{\max})$.
• Q8 : Évaluer $I_{\min}$ en fonction de $\alpha$. La condition de non-annulation du courant s’écrit $I_{\min} > 0$.

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Corrigé pas à pas

I. Analyse préliminaire et régimes de fonctionnement

1. Rôle de la diode de roue libre : L’inductance $L$ s’oppose à toute variation brusque du courant. Si $K$ s’ouvre brutalement sans chemin de repli pour le courant, $\frac{di}{dt}$ tend vers $-\infty$, générant une surtension destructrice $u = L \frac{di}{dt}$ susceptible de claquer l’interrupteur $K$. La diode $D$, polarisée en direct lors de l’ouverture de $K$, assure la continuité du courant en formant une boucle fermée (« roue libre ») avec la charge.
2. Expression de $u_N(t)$ :
   • Lorsque $K$ est fermé et $D$ bloquée : $u_N(t) = E_0$.
   • Lorsque $K$ est ouvert et $D$ passante : $u_N(t) = 0$ (aux chutes de tension près dans la diode).

II. Étude en conduction continue

3. Équation différentielle (Phase 1 : $0 < t < \alpha T$) : La loi des mailles donne : $E_0 = Ri(t) + L\frac{di}{dt} + E \implies L\frac{di}{dt} + Ri = E_0 - E$

4. Résolution Phase 1 : La solution générale est de la forme $i(t) = \frac{E_0 - E}{R} + A e^{-t/\tau}$ avec $\tau = L/R$. En utilisant la condition initiale $i(0) = I_{\min}$ : $A = I_{\min} - \frac{E_0 - E}{R}$ D’où, pour $t \in [0, \alpha T]$ : $i(t) = \frac{E_0 - E}{R} + \left(I_{\min} - \frac{E_0 - E}{R}\right)e^{-t/\tau}$

5. Résolution Phase 2 ($\alpha T < t < T$) : L’interrupteur $K$ est ouvert, la source $E_0$ est déconnectée ($u_N = 0$). L’équation devient : $L\frac{di}{dt} + Ri = -E$ La solution avec la condition à l’origine de cette phase $i(\alpha T) = I_{\max}$ s’écrit, pour $t' = t - \alpha T \in [0, (1-\alpha)T]$ : $i(t') = -\frac{E}{R} + \left(I_{\max} + \frac{E}{R}\right)e^{-t'/\tau}$

6. Calcul de $I_{\min}$ et $I_{\max}$ : Par périodicité, $i(T) = I_{\min}$. Évaluons $i(\alpha T) = I_{\max}$ et $i(T) = I_{\min}$ : $I_{\max} = \frac{E_0 - E}{R} + \left(I_{\min} - \frac{E_0 - E}{R}\right)e^{-\alpha T/\tau}$ $I_{\min} = -\frac{E}{R} + \left(I_{\max} + \frac{E}{R}\right)e^{-(1-\alpha)T/\tau}$ La résolution de ce système linéaire permet d’obtenir analytiquement $I_{\min}$ et $I_{\max}$.

7. Valeur moyenne de la tension : Par définition de la valeur moyenne sur une période $T$ : $\langle u_N \rangle = \frac{1}{T} \left( \int_{0}^{\alpha T} E_0 \, dt + \int_{\alpha T}^{T} 0 \, dt \right) = \alpha E_0$ Conclusion: * Le hacheur série se comporte comme un transformateur idéal de tension continue réglable puisque $\langle u_N \rangle = \alpha E_0$ avec $\alpha \in ]0, 1[$.

III. Analyse critique et limites du modèle

8. Condition de conduction continue : Le régime est continu si et seulement si $I_{\min} > 0$. En injectant les expressions de $I_{\min}$ issues du système précédent, la condition limite $I_{\min} = 0$ donne l’expression du rapport cyclique limite $\alpha_{\text{lim}}$.

9. Application numérique : Avec $E_0 = \text{100 V}$, $E = \text{20 V}$, $R = \text{2 }\Omega$, $L = \text{10 mH}$ ($\tau = \text{5 ms}$) et $f = \text{20 kHz}$ ($T = \text{50 }\mu\text{s}$). On remarque que $T \ll \tau$ ($50\,\mu\text{s} \ll 5\,\text{ms}$). Le courant varie très peu sur une période (ondulation faible). L’ondulation de courant $\Delta i = I_{\max} - I_{\min} \approx \frac{(E_0 - \alpha E_0) \alpha T}{L}$ (approximation linéaire valable car $T \ll \tau$). Pour que $I_{\min} > 0$, il faut que $\langle i \rangle > \frac{\Delta i}{2}$. Le calcul numérique conduit à $\alpha_{\text{lim}} \approx \frac{E}{E_0} = \frac{20}{100} = 0{,}2$. En deçà de $\alpha = 0{,}2$, le hacheur entre en conduction discontinue (le courant s’annule à chaque période).

10. Analyse critique et limites des modèles idéaux (Esprit Concours) :

    • Pertes par commutation : L’interrupteur et la diode réels ne commutent pas instantanément. Le produit $u(t)i(t)$ n’est pas nul pendant les durées de transition, ce qui génère des pertes énergétiques proportionnelles à la fréquence $f$. À $\text{20 kHz}$, ces pertes deviennent prépondérantes.
    • Chutes de tension directes : La diode présente une tension de seuil $U_d \approx \text{0,7 V}$ et l’interrupteur une résistance à l’état passant $R_{\text{on}}$, réduisant le rendement réel par rapport au modèle parfait $\langle u_N \rangle = \alpha E_0$.
    • Compatibilité Électromagnétique (CEM) : Les fortes pentes $\frac{di}{dt}$ et $\frac{dv}{dt}$ à $20\text{ kHz}$ génèrent des parasites conduits et rayonnés, nécessitant l’adjonction de filtres en entrée et en sortie, absents du modèle d’étude.