Cours : Thermodynamique industrielle et Ondes

Fiche de Cours : Thermodynamique industrielle et Ondes

Niveau: ** Deuxième année (CPGE PT)
Matière : Physique-Chimie

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I. Thermodynamique industrielle : Systèmes ouverts et Machines thermiques

Dans le cadre de l’industrie, on étudie principalement des systèmes ouverts en régime permanent (écoulements continus).

1. Premier principe pour un système ouvert (Formulation enthalpique)

Pour un système ouvert en régime permanent traversé par un débit massique $\dot{m}$, le premier principe s’écrit sous la forme globale :

$\dot{Q} + \dot{W}_{\text{ut}} = \Delta(\dot{m} h_{\text{tot}})$

Où :

• $\dot{Q}$ est le flux thermique reçu par le système ($\text{W}$).
• $\dot{W}_{\text{ut}}$ est la puissance utile (hors travail de transvasement des forces de pression, par exemple puissance sur un arbre de turbine ou de compresseur, $\text{W}$).
• $h_{\text{tot}} = h + \frac{1}{2} v^2 + g z$ est l’enthalpie totale massique ($\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$).

En négligeant les variations d’énergie cinétique et potentielle macroscopicrques, l’équation simplifiée par unité de masse s’écrit :

$q + w_{\text{ut}} = \Delta h = h_{\text{aval}} - \hbar_{\text{amont}}$

2. Étude des machines thermiques usuelles

• Compresseur / Pompe (Récepteur adiabatique) : $q = 0$. Le travail utile fourni est négatif pour le milieu extérieur. $w_{\text{ut}} = h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}} > 0$.
• Turbine (Moteur adiabatique) : $q = 0$. Le fluide fournit de l’énergie mécanique. $w_{\text{ut}} = h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}} < 0$.
• Échangeur / Condenseur / Évaporateur ($w_{\text{ut}} = 0$) : Permet les transferts thermiques entre deux fluides sans contact direct.

3. Efficacité et Efficience (Second principe)

Pour toute machine thermique, le second principe introduit l’entropie échangée et créée $\Delta S_{\text{cr}} \ge 0$.

• Machine thermique motrice (Moteur) : Rendement $\eta = \frac{-W_{\text{ut}}}{Q_{\text{ chaud}}} \le \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_{\text{ froide}}}{T_{\text{ chaude}}}$
• Machine thermique réceptrice (Pompe à chaleur / Climatiseur) : Efficacité (ou COP) :
  • PAC : $\text{COP}_{\text{PAC}} = \frac{Q_{\text{chaud}}}{W_{\text{ut}}} \le \frac{T_{\text{chaud}}}{T_{\text{chaud}} - T_{\text{froide}}}$
  • Climatiseur : $\text{COP}_{\text{clim}} = \frac{Q_{\text{froide}}}{W_{\text{ut}}} \le \frac{T_{\text{froide}}}{T_{\text{chaud}} - T_{\text{froide}}}$

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II. Propagation des Ondes

1. Équation d’onde universelle

Une grandeur physique $s(x, t)$ (champ, pression, tension…) se propageant selon une dimension $x$ à la cœlérité $c$ vérifie l’équation d’onde linéaire homogène :

$\frac{\partial^2 s}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = 0$

• Solution générale (d’Alembert) : $s(x, t) = f(x - c t) + g(x + c t)$ (ondes progressives dans le sens $+x$ et $-x$).

2. Ondes acoustiques dans les fluides

Considérons un gaz parfait de masse volumique $\rho_0$ et de pression $0$. Les perturbations acoustiques (excès de pression $p(x,t)$, vitesse particulaire $v(x,t)$, excès de masse volumique $\mu(x,t)$) vérifient les équations linéarisées (en négligeant les termes d’ordre supérieur) :

1. Équation d’Euler (quantité de mouvement) : $\rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x}$
2. Équation de conservation de la masse : $\frac{\partial \mu}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial x} = 0$
3. Équation d’état (transformation adiabatique réversible / Laplace) : $p = c^2 \mu$, avec $c = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}} = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$

En combinant ces équations, on établit l’équation d’onde sur la surpression acoustique $p(x,t)$ :

$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0$

3. Impédance acoustique

Pour une onde plane progressive sinusoïdale se propageant dans le sens des $x$ croissants : $p(x,t) = P_m \cos(\omega t - k x)$

La vitesse particulaire associée $v(x,t)$ s’obtient via l’équation d’Euler : $v(x,t) = \frac{P_m}{\rho_0 c} \cos(\omega t - k x)$

On définit l’impédance acoustique caractéristique du milieu par :

$Z_c = \frac{p(x,t)}{v(x,t)} = \rho_0 c \quad (\text{en } \text{Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-3} \text{ ou } \text{Rayleigh})$

4. Puissance et Intensité acoustique

• Puissance transportée par unité de surface (Intensité acoustique instantanée) : $i(x,t) = p(x,t) \cdot v(x,t)$
• Intensité acoustique moyenne (sur une période) : $I = \langle i(x,t) \rangle_T = \frac{P_m^2}{2 \rho_0 c} = \frac{1}{2} Z_c v_{\text{max}}^2$

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III. Réflexion et Transmission des ondes (Interface entre deux milieux)

Lorsqu’une onde acoustique (ou sur une corde) d’amplitude incidente $p_i$ arrive sur une discontinuité d’impédance (interface en $x = 0$ entre le milieu 1 d’impédance $Z_1$ et le milieu 2 d’impédance $Z_2$), il y a création d’une onde réfléchie $p_r$ et d’une onde transmise $p_t$.

1. Conditions de raccordement en $x = 0$

• Continuité de la pression : $p_i(0, t) + p_r(0, t) = p_t(0, t)$
• Continuité de la vitesse particulaire : $v_i(0, t) + v_r(0, t) = v_t(0, t)$ (avec $v_r = -\frac{p_r}{Z_1}$ car l’onde rétrograde se propage dans le sens $-x$).

2. Coefficients de réflexion et de transmission

• Coefficient en amplitude (pression) : $r = \frac{p_r}{p_i} = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}$ $t = \frac{p_t}{p_i} = \frac{2 Z_2}{Z_1 + Z_2}$

• Coefficient en énergie (puissance transmise/réfléchie) : $R = \frac{I_r}{I_i} = r^2 = \left( \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \right)^2$ $T = \frac{I_t}{I_i} = \frac{Z_1}{Z_2} t^2 = \frac{4 Z_1 Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2}$

  Bilan énergétique : $R + T = 1$ (conservation de l’énergie à l’interface).

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Points clés à retenir pour les concours :

1. Maîtriser le premier principe ouvert pour dimensionner pompes et turbines en PTSI/PT.
2. Savoir retrouver l’équation d’onde acoustique à partir de la mécanique des fluides linéarisée.
3. Utiliser systématiquement l’analogie entre les systèmes mécaniques, électriques et acoustiques via l’impédance $Z$.