Exercice 1 : Loi de Faraday et flux du champ magnétique

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

On se place dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-permanents (ARQP). On considère un dispositif inspiré des freins à courants de Foucault ou des alternateurs simplifiés.

Soit un circuit carré rigide $ABCD$ , de côté $a$ et de masse $m$ , constitué d’un fil conducteur homogène de résistance totale $R$ et de section constante. Ce circuit est situé dans le plan $(Oxy)$ .

Un champ magnétique permanent, uniforme et stationnaire $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$ (avec $B_0 > 0$ ) règne dans une région de l’espace définie par $x > 0$ . Pour $x \le 0$ , le champ magnétique est nul.

À l’instant $t = 0$ , le sommet $A$ du cadre se trouve à l’origine $O$ . Le cadre est lancé selon l’axe des abscisses orienté par $\vec{e}_x$ avec une vitesse initiale $\vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_x$ ( $v_0 > 0$ ). Le mouvement du cadre est donc purement de translation rectiligne selon $\vec{e}_x$ .

On note $x(t)$ l’abscisse du côté $BC$ (le plus à droite, parallèle à l’axe $(Oy)$ ) à l’instant $t$ .

❓ Questions progressives

Analyse préliminaire et orientation : Préciser les conditions d’application de l’ARQP. Définir un contour orienté pour le circuit et exprimer le flux $\Phi(t)$ du champ magnétique à travers ce contour en fonction de $x(t)$ , $a$ et $B_0$ , pour la phase où le cadre entre partiellement dans la zone du champ magnétique ( $0 < x(t) < a$ ).
Application de la loi de Faraday : En déduire l’expression de la force électromotrice induite $e(t)$ dans le circuit pendant cette même phase. Préciser le signe de $e(t)$ et interpréter physiquement son sens.
Bilan énergétique et dynamique : Déterminer l’expression de la force de Laplace $\vec{F}_{\text{Laplace}}$ s’exerçant sur le cadre lorsque celui-ci pénètre dans la zone du champ. En appliquant le théorème de la résultante cinétique, établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse $v(t) = \frac{\text{d}x}{\text{d}t}$ .
Résolution et étude asymptotique : Résoudre cette équation différentielle avec la condition initiale $v(0) = v_0$ . Déterminer l’allure du mouvement et calculer la distance totale parcourue par le cadre dans la zone $x > 0$ si le champ est semi-infini.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Indication 1 (Flux) : Le flux du champ magnétique $\vec{B}$ à travers une surface s’appuyant sur un contour fermé orienté est $\Phi(t) = \iint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \vec{n} \, \text{d}^2S$ . Attention à bien délimiter la zone où $\vec{B}$ est non nul.
Indication 2 (Loi de Faraday) : La loi de Faraday s’écrit $e(t) = -\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}$ . Veillez à choisir un vecteur normal $\vec{n}$ cohérent avec l’orientation du contour via la règle de la main droite.
Indication 3 (Forces de Laplace) : La force de Laplace élémentaire est $\text{d}\vec{F} = I \, \text{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}$ . Seuls les segments situés dans la zone $x > 0$ et traversés par un courant induit $I$ subissent une force non nulle.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Analyse préliminaire et expression du flux

Le champ magnétique est non nul uniquement pour $x > 0$ . À l’instant $t$ , le cadre occupe la région comprise entre son côté $AD$ d’abscisse $x(t) - a$ et son côté $BC$ d’abscisse $x(t)$ . Pendant la phase d’entrée où $0 < x(t) < a$ , seule une portion du cadre de largeur $x(t)$ et de hauteur $a$ se trouve dans la zone où $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$ .

En orientant le contour dans le sens trigonométrique (anti-horaire) et en choisissant le vecteur normal $\vec{n} = \vec{e}_z$ , le flux du champ magnétique à travers la surface du cadre est : $\Phi(t) = \iint_{\text{surface}} (B_0 \vec{e}_z) \cdot (\vec{e}_z \, \text{d}x \, \text{d}y) = B_0 \times (\text{aire de la portion immergée})$

$\Phi(t) = B_0 \, a \, x(t)$

2. Application de la loi de Faraday

La loi de Faraday permet de calculer la force électromotrice (f.e.m.) induite $e(t)$ dans le circuit : $e(t) = -\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} = -\frac{\text{d}}{\text{d}t} \big( B_0 \, a \, x(t) \big)$

En posant $v(t) = \frac{\text{d}x}{\text{d}t}$ , on obtient : $e(t) = -B_0 \, a \, v(t)$

Interprétation : Comme $v(t) > 0$ lors de la pénétration, $e(t) < 0$ . Selon la loi de Lenz, le courant induit $I(t) = \frac{e(t)}{R} = -\frac{B_0 a v(t)}{R}$ va s’opposer à la cause qui lui a donne naissance, c’est-à-dire à l’augmentation du flux magnétique à travers le circuit.

3. Bilan dynamique et équation différentielle

Le courant induit circule dans le circuit. Seul le segment $BC$ (de longueur $a$ , situé en $x(t)$ dans la zone de champ $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$ ) subit une force de Laplace non nulle. Les autres segments sont soit hors du champ ( $\vec{B} = \vec{0}$ ), soit parcourus par des forces qui se compensent (pour les parties à cheval sur la frontière $x=0$ , par symétrie du dispositif si l’on néglige les effets de bord fins).

La force de Laplace sur le segment $BC$ s’écrit : $\vec{F}_{\text{Laplace}} = \int_{\text{segment } BC} I \, \text{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}$

Avec $\text{d}\vec{\ell} = -\text{d}y \, \vec{e}_y$ (le long du segment orienté de $C$ vers $B$ ) et $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$ : $\vec{F}_{\text{Laplace}} = I \int_{0}^{a} (-\text{d}y \, \vec{e}_y) \wedge (B_0 \vec{e}_z) = I \, a \, B_0 (-\vec{e}_x)$

En remplaçant $I$ par $\frac{e(t)}{R} = -\frac{B_0 a v}{R}$ : $\vec{F}_{\text{Laplace}} = -\frac{B_0^2 a^2 v(t)}{R} \vec{e}_x$

Appliquons le Théorème de la Résultante Cinétique (TRC) au cadre dans le référentiel galiléen du laboratoire : $m \frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}_t} = \vec{F}_{\text{Laplace}}$

En projection sur l’axe $\vec{e}_x$ : $m \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = -\frac{B_2^0 a^2}{R} v(t)$

On met cette équation sous la forme canonique : $\frac{\text{d}v}{\text{d}t} + \frac{v(t)}{\tau} = 0$

où l’on a introduit le temps caractéristique du freinage électromagnétique : $\tau = \frac{m R}{B_0^2 a^2}$

4. Résolution et étude du mouvement

La résolution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre avec la condition initiale $v(0) = v_0$ donne : $v(t) = v_0 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)$

Pour obtenir la position $x(t)$ durant cette phase de pénétration ( $0 < x(t) < a$ ), on intègre la vitesse par rapport au temps en sachant qu’à $t=0$ , $x(0) = 0$ : $x(t) = \int_{0}^{t} v(u) \, \text{d}u = v_0 \tau \left( 1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \right)$

Vérification / Discussion : Lorsque $t \to +\infty$ (si la zone $x>0$ est infinie et que le cadre ne ralentit pas assez vite pour s’arrêter avant d’être totalement entré), la position maximale d’immersion partielle tend vers $x_{\max} = v_0 \tau$ . Si $v_0 \tau < a$ , le cadre ralentit et s’arrête avant même d’avoir complètement pénétré dans la zone de champ magnétique.