Optimisation au concours : Mathématiques PC

🎯 Objectif du module & Exigences des Jurys

En tant que concepteur de sujets et président de jury pour les concours de la filière Physique-Chimie (PC), je ne le répéterai jamais assez : ce n’est pas la quantité de copies écrites qui départage les candidats, mais la rigueur de la mise en page, la pertinence des justifications et la maîtrise des hypothèses de cours.

En filière PC, les mathématiques sont un outil puissant au service des sciences physiques. Les jurys des concours Mines-Ponts, Centrale-Supélec, CCINP et Agro-Véto attendent de vous une précision chirurgicale, en particulier sur :

1. L’hygiène topologique et analytique : vérification systématique des conditions d’application des théorèmes (continuité, classe de differentiabilité, intégrabilité, compacité).
2. La propreté rédactionnelle : introduction claire des notations, quantification rigoureuse ($\forall, \exists$), et conclusion explicite.

Ce guide d’optimisation détaille deux des questions les plus rentables et les plus piégeuses des écrits de mathématiques en PC.

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📌 Question Type 1 : Calcul des coefficients de Fourier d’une fonction $T$-périodique et application du théorème de Dirichlet

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

1. Vérification des hypothèses d’intégrabilité : S’assurer que $f$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$, $T$-périodique, et donc intégrable sur tout segment (en particulier sur une période $[0, T]$ ou $[-T/2, T/2]$).
2. Calcul explicite des coefficients :
   • Utiliser la période $T$ (ou ramener l’intégrale sur $[- \pi, \pi]$ par un changement de variable affine si la période est $2\pi$).
   • Appliquer les propriétés de parité/imparité si elles existent pour diviser le travail par deux.
   • Gérer proprement le cas $n = 0$ et $n \neq 0$ pour les coefficients réels $a_n$ et $b_n$, ou l’indice $n = 0$ et $n \in \mathbb{Z}^*$ pour les coefficients complexes $c_n$.
3. Intégration par parties (IPP) : Si $f$ n’est pas infiniment dérivable, expliciter les IPP successives en justifiant la classe de $f$ (par exemple $C^1$ par morceaux).
4. Application du théorème de Dirichlet :
   • Citer précisément le théorème : si $f$ est $T$-périodique, de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$, alors pour tout $x \in \mathbb{R}$, la série de Fourier de $f$ converge simplement vers $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$.
   • Conclure sur la valeur de la somme de la série pour des valeurs particulières de $x$ (par exemple $x = 0$ ou $x = \pi$).

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📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Énoncé type : Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction $2\pi$-périodique, paire, définie sur $[0, \pi]$ par $f(t) = t$.

1. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de $f$.
2. Énoncer le théorème de Dirichlet et en déduire la valeur de la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$.

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Rédaction modèle type /20 :

1. Calcul des coefficients de Fourier : La fonction $f$ est continue, $2\pi$-périodique et de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$. Elle est donc développable en série de Fourier. Puisque $f$ est paire, ses coefficients de Fourier sine $b_n$ sont tous nuls pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ($f(t)\sin(nt)$ est impaire).

Pour $a_0$ : $a_0 = \frac{2}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \text{d}t = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} t \text{d}t = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^\pi = \pi$

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ : $a_n = \frac{2}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt) \text{d}t = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} t \cos(nt) \text{d}t$ Effectuons une intégration par parties. Posons $u(t) = t$ (de classe $C^1$) et $v'(t) = \cos(nt)$ (de primitive $v(t) = \frac{\sin(nt)}{n}$). Les fonctions sont de classe $C^1$ sur $[0, \pi]$ : $a_n = \frac{2}{\pi} \left( \left[ t \frac{\sin(nt)}{n} \right]_0^\pi - \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \frac{\sin(nt)}{n} \text{d}t \right)$ Puisque $\sin(n\pi) = 0$ et $\sin(0) = 0$, le terme tout intégré est nul. Il reste : $a_n = -\frac{2}{n\pi} \left[ -\frac{\cos(nt)}{n} \right]_0^\pi = \frac{2}{n^2\pi} (\cos(n\pi) - \cos(0)) = \frac{2}{n^2\pi} ((-1)^n - 1)$ Ainsi, $a_n = -\frac{4}{(2k+1)^2\pi}$ si $n = 2k+1$ est impair, et $a_n = 0$ si $n$ est pair.

2. Application du théorème de Dirichlet : La fonction $f$ étant $2\pi$-périodique et de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$, le théorème de Dirichlet s’applique en tout point $x \in \mathbb{R}$. La série de Fourier associée à $f$ converge en tout point $x$ vers : $S(x) = \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ Puisque $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, $f(x^+) = f(x^-) = f(x)$, donc la série converge simplement vers $f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

En particulier, en $x = 0$ : $f(0) = 0 = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(0) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=0}^{+\infty} \left( -\frac{4}{(2k+1)^2\pi} \right)$ En réorganisant l’égalité : $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{4}{(2k+1)^2\pi} = \frac{\pi}{2} \implies \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$

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⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

• Oubli de la parité : Perdre du temps à calculer les $b_n$ en oubliant de mentionner que $f$ est paire et que le produit $f(t)\sin(nt)$ est impair sur un intervalle symétrique.
• Mauvaise citation du théorème de Dirichlet : Oublier de diviser par 2 en cas de discontinuité (prendre la moyenne des limites à gauche et à droite).
• Confusion sur l’indice de sommation : Ne pas expliciter la distinction entre $n$ pair et $n$ impair lors du calcul de la somme finale.

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📌 Question Type 2 : Résolution de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

1. Mise sous forme matricielle : Écrire le système sous la forme $X'(t) = A X(t) + B(t)$, où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $X(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}$.
2. Résolution de l’équation homogène ($X'(t) = AX(t)$) :
   • Calculer le polynôme caractéristique $P(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$.
   • Déterminer les valeurs propres et leurs multiplicités.
   • Cas diagonalisable : Déterminer une base de vecteurs propres $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)$. La solution générale est $X_h(t) = \sum_{i=1}^n C_i e^{\lambda_i t} \varepsilon_i$.
   • Cas non diagonalisable (Hors-programme en théorie pure PC, mais abordé via la réduction de Dunford ou l’exponentielle de matrice) : Utiliser l’exponentielle de matrice $X(t) = \exp(tA)X_0$.
3. Recherche d’une solution particulière (si système avec second membre) :
   • Utiliser la méthode de variation des constantes : $X_p(t) = P(t) \exp(tA)$ où $P'(t)\exp(tA) = B(t)$, ou utiliser la structure du second membre (méthode par identification si $B(t)$ est polynomiale/exponentielle/trigonométrique).
4. Condition initiale : Utiliser la condition $X(0) = X_0$ pour déterminer de manière unique les constantes d’intégration $C_i$.

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📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Énoncé type : Résoudre sur $\mathbb{R}$ le système différentiel suivant : $\begin{cases} x'(t) = x(t) + 2y(t) \\ y'(t) = 3x(t) + 2y(t) \end{cases}$ avec les conditions initiales $x(0) = 1$ et $y(0) = 0$.

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Rédaction modèle type /20 :

1. Mise sous forme matricielle : Le système s’écrit sous la forme vectorielle $X'(t) = A X(t)$ avec : $X(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

2. Étude spectrale de la matrice $A$ : Calculons le polynôme caractéristique de $A$ : $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_2) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda) - 6$ $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda + 2 - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1)$ Les valeurs propres de $A$ sont donc $\lambda_1 = 4$ et $\lambda_2 = -1$. Ce sont deux valeurs propres distinctes ($2$ valeurs propres simples pour une matrice $2 \times 2$), donc la matrice $A$ est diagonalisable.

3. Recherche des sous-espaces propres :

• Pour $\lambda_1 = 4$ : Soit $V_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ tel que $(A - 4I_2)V_1 = 0$ : $\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies -3x + 2y = 0$ On peut choisir le vecteur propre associé : $E_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

• Pour $\lambda_2 = -1$ : Soit $V_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ tel que $(A + I_2)V_2 = 0$ : $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies x + y = 0$ On peut choisir le vecteur propre associé : $E_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

4. Solution générale du système : Puisque $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène est engendré par les solutions élémentaires associées aux valeurs propres. La solution générale s’écrit : $X(t) = C_1 e^{4t} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + C_2 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \quad (C_1, C_2) \in \mathbb{R}^2$ Soit sous forme développée : $\begin{cases} x(t) = 2C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t} \\ y(t) = 3C_1 e^{4t} - C_2 e^{-t} \end{cases}$

5. Utilisation des conditions initiales : Les conditions initiales imposent $x(0) = 1$ et $y(0) = 0$ : $\begin{cases} 2C_1 + C_2 = 1 \\ 3C_1 - C_2 = 0 \end{cases}$ En additionnant les deux lignes, on obtient $5C_1 = 1 \implies C_1 = \frac{1}{5}$. Puis, $C_2 = 3C_1 = \frac{3}{5}$.

La solution unique du problème de Cauchy est donc : $\begin{cases} x(t) = \frac{2}{5} e^{4t} + \frac{3}{5} e^{-t} \\ y(t) = \frac{3}{5} e^{4t} - \frac{3}{5} e^{-t} \end{cases}$

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⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

• Oubli de mentionner la diagonalisabilité : Écrire directement la forme générale sans préciser que le théorème du cours s’applique car la matrice est diagonalisable (ou sans expliciter la base de diagonalisation).
• Erreurs de calcul de déterminant ou de signes dans le polynôme caractéristique (source numéro un d’élimination prématurée sur cette question).
• Inversion des constantes lors de l’application des conditions initiales : Toujours poser clairement le système linéaire en $(C_1, C_2)$ avant de le résoudre.