Exercice 1 : Valeurs propres et diagonalisation

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ avec $n \ge 2$. On considère l’espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients réels. L’objectif de ce problème est d’étudier les propriétés de diagonalisabilité d’une classe particulière de matrices dépendant d’un paramètre réel, et d’appliquer ces résultats à la résolution d’un système différentiel linéaire.

Soit $a \in \mathbb{R}$. On définit la matrice $A_a \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ par :

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