Exercice 1 : Rayon de convergence et développement en série entière

PROBLÈME GUIDÉ : Analyse asymptotique et développement en série entière d’une intégrale fonction d’un paramètre

Filière : MP
Matière : Mathématiques
Thème : Séries entières, séries de Fourier et analyse asymptotique.

Introduction et contexte du problème

Dans les problèmes de physique statistique et de thermique, l’évaluation de certaines fonctions définies par des intégrales complexes conduit à l’étude de fonctions génératrices. Ce problème propose d’étudier une fonction définie par une intégrale à paramètre, d’en déterminer le rayon de convergence par des méthodes d’analyse asymptotique réalistes, puis d’expliciter son développement en série entière.

Énoncé

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x \in ]-1, 1[$ par l’intégrale : $f(x) = \int_{0}^{+\infty} \frac{t^2 e^{-t}}{\sqrt{1 - 2x \cos(t) + x^2}} \, dt$

L’objectif de ce problème est de déterminer le rayon de convergence de la série entière associée à $f$ au voisinage de $0$ , de relier cette fonction à une somme de séries trigonométriques via Fourier, et d’analyser le comportement du modèle aux limites du domaine de définition.

Questions

Étude de la convergence de l’intégrale : Justifier que pour tout $x \in [-1, 1]$ , l’intégrale définissant $f(x)$ est convergente.
Expression sous forme de série entière : a. Rappeler le développement en série entière de la fonction $u \mapsto \frac{1}{\sqrt{1-u}}$ pour $|u| < 1$ . Préciser le rayon de convergence. b. En déduire que $f(x)$ peut s’écrire sous la forme d’une série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ dont on précisera l’expression générale de $a_n$ sous forme d’une intégrale.
Calcul des coefficients et rayon de convergence : a. Évaluer la nature de la suite $(a_n)$ en utilisant des estimations de Laplace ou des comparaisons d’intégrales. b. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n x^n$ .
Analyse critique et limites du modèle physique : a. Que se passe-t-il lorsque $x \to 1^-$ ? Interpréter physiquement la divergence de l’intégrale ou de la série. b. Discuter la pertinence de l’ordre de grandeur de $a_n$ pour les grands $n$ .

Pistes et Indications

Q1 : Étudier le comportement du dénominateur lorsque $x \in [-1, 1]$ et $t \to 0$ , puis la domination par le terme en $e^{-t}$ en $+\infty$ .
Q2 : Utiliser la formule du binôme généralisé pour $\left(1 - (2x\cos(t) - x^2)\right)^{-1/2}$ . Attention à l’interversion série-intégrale (théorème d’intégration terme à terme).
Q3 : Exprimer $\cos^n(t)$ à l’aide de formules d’Euler pour transformer l’intégrale définissant $a_n$ .
Q4 : Analyser le comportement en $t=0$ de l’intégrant lorsque $x=1$ .

Corrigé pas à pas

1. Étude de la convergence de l’intégrale

Soit $x \in [-1, 1]$ fixé. L’intégrant est $g_x(t) = \frac{t^2 e^{-t}}{\sqrt{1 - 2x \cos(t) + x^2}}$ .

En $+\infty$ : Le terme $e^{-t}$ l’emporte largement devant toute puissance polynomiale de $t$ . Plus précisément, pour $x \in [-1, 1]$ , le dénominateur est minoré par $\sqrt{(1-|x|)^2} = 1-|x|$ si $x \neq \pm 1$ (cas $x=\pm 1$ à traiter à la limite). Pour $x=1$ , le dénominateur vaut $\sqrt{2-2\cos(t)} = 2|\sin(t/2)|$ . L’intégrale converge en $+\infty$ par comparaison avec des intégrales de Riemann ou par critère de négligeabilité.
En $0$ : $\sqrt{1 - 2x \cos(t) + x^2} = \sqrt{(1-x)^2 + 4x \sin^2(t/2)}$ . Si $x \neq 1$ , cette quantité tend vers $|1-x| \neq 0$ . Si $x = 1$ , elle vaut $2\sin(t/2) \sim t$ . Dans ce cas, $g_1(t) \sim \frac{t^2 e^{-t}}{t} = t e^{-t}$ , qui tend vers $0$ . L’intégrale est donc impropre en $0$ mais prolongeable par continuité, donc convergente.

2. Expression sous forme de série entière

a. Pour $u \in ]-1, 1[$ , on a le développement en série entière : $\frac{1}{\sqrt{1-u}} = \sum_{k=0}^{+\infty} \binom{-1/2}{k} (-u)^k = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} u^k$ Le rayon de convergence de cette série est $1$ .

b. Posons $u = 2x\cos(t) - x^2$ . Pour $x \in ]-1, 1[$ et $t \in [0, +\infty[$ , on a $u \in ]-1, 1[$ . En substituant : $f(x) = \int_{0}^{+\infty} t^2 e^{-t} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} (2x\cos(t) - x^2)^k \, dt$ Par le théorème d’intégration terme à terme (les hypothèses de sommation et d’intégration sur un intervalle quelconque étant validées par domination sur tout compact), on peut permuter somme et intégrale : $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ où les coefficients $a_n$ s’expriment en regroupant les puissances de $x$ issues du développement du binôme $(2x\cos(t) - x^2)^k$ .

3. Calcul des coefficients et rayon de convergence

a. Le terme général $a_n$ s’obtient en collectant les termes en $x^n$ . Par un développement limité ou une formule de Faà di Bruno, $a_n$ est de la forme : $a_n = \int_{0}^{+\infty} t^2 e^{-t} P_n(\cos(t)) \, dt$ où $P_n$ est un polynôme trigonométrique de degré $n$ . Par majoration grossière, $|a_n| \le M^n$ pour une certaine constante $M > 0$ , ce qui garantit que le rayon de convergence $R$ est supérieur ou égal à $1$ .

b. Plus précisément, la singularité la plus proche de $0$ de la fonction sous l’intégrale survient lorsque le dénominateur s’annule, c’est-à-dire pour $1 - 2x\cos(t) + x^2 = 0$ . Le minimum de cette expression par rapport à $t$ est atteint pour $\cos(t) = 1$ , soit $(1-x)^2 = 0 \implies x = 1$ . Par conséquent, la fonction présente une singularité en $x=1$ . Le rayon de convergence de la série entière est donc $R = 1$ .

4. Analyse critique et limites du modèle physique

a. Lorsque $x \to 1^-$ , le terme en $t=0$ du dénominateur disparaît et l’intégrale se comporte au voisinage de $0$ comme $\int_{0} \frac{t^2 e^{-t}}{t} dt = \int_{0} t e^{-t} dt$ , qui converge. Cependant, la dérivée de $f(x)$ diverge en $1^-$ , traduisant une transition critique dans le modèle (comportement non analytique aux limites). b. Ordre de grandeur : Les coefficients $a_n$ n’exhibent pas de croissance factorielle car la singularité en $x=1$ est une singularité algébrique (liée à la racine carrée) et non un pôle simple ou un point de branchage exponentiel. Le modèle est donc numériquement stable pour $x \in [0, 0.9]$ , mais nécessite un grand nombre de termes ( $n > 100$ ) pour approcher les valeurs lorsque $x$ s’approche de $1$ en raison de la lenteur de convergence de la série entière sur le cercle de convergence.