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CPGE Futur

Cours : Algèbre linéaire et calcul matriciel

Cours de Mathématiques - MP2I

Section titled “Cours de Mathématiques - MP2I”

Chapitre : Algèbre linéaire et calcul matriciel

Section titled “Chapitre : Algèbre linéaire et calcul matriciel”

1. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

Section titled “1. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels”

A. Définitions fondamentales

Section titled “A. Définitions fondamentales”

Soit K\mathbb{K} un corps (R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}). Un K\mathbb{K}-espace vectoriel est un ensemble EE muni d’une loi de composition interne +:E×E→E+ : E \times E \to E et d’une loi externe ⋅:K×E→E\cdot : \mathbb{K} \times E \to E vérifiant les axiomes habituels de structure d’espace vectoriel.

Un sous-espace vectoriel (s.e.v.) de EE est une partie F⊂EF \subset E non vide telle que : ∀(x,y)∈F2,∀(λ,μ)∈K2,λx+μy∈F\forall (x, y) \in F^2, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \quad \lambda x + \mu y \in F

B. Somme de sous-espaces vectoriels

Section titled “B. Somme de sous-espaces vectoriels”

Soient FF et GG deux s.e.v. de EE.

  • La somme de FF et GG est définie par : F+G={x+y∣(x,y)∈F×G}F + G = \{x + y \mid (x, y) \in F \times G\}
  • Cette somme est directe, notée F⊕GF \oplus G, si et seulement si : F∩G={0E}F \cap G = \{0_E\}
  • Tout vecteur z∈F⊕Gz \in F \oplus G se décompose de manière unique sous la forme z=x+yz = x + y avec x∈Fx \in F et y∈Gy \in G.

2. Familles de vecteurs, bases et dimension

Section titled “2. Familles de vecteurs, bases et dimension”

A. Indépendance linéaire, générateurs

Section titled “A. Indépendance linéaire, générateurs”
  • Une famille (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} est dite génératrice de EE si tout vecteur de EE s’exprime comme combinaison linéaire finie des eie_i.
  • Une famille (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) est dite libre si : ∀(λ1,…,λn)∈Kn,∑i=1nλiei=0E  ⟹  λ1=⋯=λn=0\forall (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n, \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = 0_E \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0
  • Une base est une famille à la fois libre et génératrice.

B. Dimension finie

Section titled “B. Dimension finie”

Un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE est de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie.

  • Toutes les bases d’un même espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal, appelé dimension de EE (noté dim⁡(E)\dim(E)).
  • Théorème de la base incomplète : Toute famille libre peut être complétée en une base par adjonction de vecteurs de EE.
  • Théorème du rang (dimension d’une somme) : Si FF et GG sont deux s.e.v. de EE en dimension finie : dim⁡(F+G)=dim⁡(F)+dim⁡(G)−dim⁡(F∩G)\dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)

3. Applications linéaires

Section titled “3. Applications linéaires”

A. Définitions et structure

Section titled “A. Définitions et structure”

Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels. Une application f:E→Ff : E \to F est linéaire si : ∀(x,y)∈E2,∀(λ,μ)∈K2,f(λx+μy)=λf(x)+μf(y)\forall (x, y) \in E^2, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \quad f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)

On note L(E,F)\mathcal{L}(E, F) l’espace vectoriel des applications linéaires de EE vers FF. Si E=FE = F, on note L(E)\mathcal{L}(E).

B. Noyau et Image

Section titled “B. Noyau et Image”

Pour f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F) :

  • Le noyau de ff est ker⁡(f)={x∈E∣f(x)=0F}\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\}. C’est un s.e.v. de EE. ff est injective   ⟺  ker⁡(f)={0E}\iff \ker(f) = \{0_E\}.
  • L’image de ff est Im⁡(f)={f(x)∣x∈E}\operatorname{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in E\}. C’est un s.e.v. de FF. ff est surjective   ⟺  Im⁡(f)=F\iff \operatorname{Im}(f) = F.

C. Théorème du rang

Section titled “C. Théorème du rang”

Soit f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F) avec EE de dimension finie. Alors Im⁡(f)\operatorname{Im}(f) est de dimension finie, et l’on a la relation : dim⁡(E)=dim⁡(ker⁡(f))+dim⁡(Im⁡(f))\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\operatorname{Im}(f)) Le rang de ff, noté rg⁡(f)\operatorname{rg}(f), est par définition la dimension de Im⁡(f)\operatorname{Im}(f).

4. Calcul matriciel

Section titled “4. Calcul matriciel”

A. Espace des matrices

Section titled “A. Espace des matrices”

On note Mn,p(K)\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K}) l’espace vectoriel des matrices à nn lignes et pp colonnes coefficients dans K\mathbb{K}. Le produit matriciel est associatif et, sous réserve de compatibilité des dimensions, bilinéaire.

B. Matrice d’une application linéaire

Section titled “B. Matrice d’une application linéaire”

Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension pp muni d’une base B=(e1,…,ep)\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p) et FF de dimension nn muni d’une base C=(f1,…,fn)\mathcal{C} = (f_1, \dots, f_n). Soit f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F). La matrice de ff dans les bases B\mathcal{B} et C\mathcal{C}, notée MatB,C(f)\text{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f), est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des images des vecteurs de la base B\mathcal{B} exprimées dans la base C\mathcal{C} : MatB,C(f)=(Col⁡1∣Col⁡2∣⋯∣Col⁡p)\text{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f) = \left( \operatorname{Col}_1 \mid \operatorname{Col}_2 \mid \dots \mid \operatorname{Col}_p \right) où la jj-ème colonne est MatC(f(ej))\text{Mat}_{\mathcal{C}}(f(e_j)).

C. Changement de base

Section titled “C. Changement de base”

Soient B\mathcal{B} et B′\mathcal{B}' deux bases de EE. La matrice de passage de B\mathcal{B} à B′\mathcal{B}', notée PB,B′P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}, est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de la nouvelle base B′\mathcal{B}' exprimés dans l’ancienne base B\mathcal{B}. PB,B′P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} est inversible et son inverse est PB′,BP_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}.

Si XX est le vecteur colonne des anciennes coordonnées de xx et X′X' celui des nouvelles, alors : X=PB,B′X′X = P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} X'

Pour une application linéaire f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) dont la matrice dans la base B\mathcal{B} est AA et dans la base B′\mathcal{B}' est A′A' : A′=P−1APA' = P^{-1} A P où P=PB,B′P = P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}. Les matrices AA et A′A' sont alors dites semblables.