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CPGE Futur

Exercice 2 : Oscillateurs mécaniques

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Les systèmes oscillants amortis couplés à des dispositifs de dissipation d’énergie sont au cœur de nombreuses applications industrielles, allant de la suspension automobile aux sismographes.

On s’intéresse dans ce problème à un dispositif original d’oscillateur mécanique vertical composé d’un solide ponctuel SS de masse mm, suspendu à un ressort idéal de raideur kk et de longueur à vide L0L_0. Le solide est immergé dans un fluide visqueux qui exerce sur lui une force de frottement fluide linéaire de la forme f⃗=−hv⃗\vec{f} = -h \vec{v}, où h>0h > 0 est le coefficient de frottement et v⃗\vec{v} la vitesse du solide dans le référentiel terrestre R\mathcal{R}, supposé galiléen.

L’objectif du problème est d’établir l’équation différentielle du mouvement, d’étudier l’influence de l’amortissement sur le régime transitoire, puis d’analyser la réponse du système soumis à une excitation sinusoïdale extérieure (régime stationnaire forcé).

Données numériques et littérales :

  • Masse : m=250 gm = 250\text{ g}
  • Constante de raideur du ressort : k=40 N⋅m−1k = 40\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}
  • Intensité de la pesanteur : g=9,81 m⋅s−2g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
  • Le mouvement est restreint à la verticale (Oz⃗)(O\vec{z}) orientée vers le bas.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Étude statique 1.1. Définir le référentiel d’étude et préciser les hypothèses permettant de le supposer galiléen. 1.2. Déterminer l’expression de l’allongement statique Δl0\Delta l_0 du ressort à l’équilibre, en fonction de mm, gg et kk. Calculer sa valeur numérique.

  2. Établissement du modèle dynamique 2.1. On repère la position du centre de masse GG du solide à l’instant tt par sa coordonnée z(t)z(t) sur l’axe (Oz⃗)(O\vec{z}), l’origine OO étant choisie au position d’équilibre stable du système. Exprimer la position du ressort à l’instant tt en fonction de L0L_0, Δl0\Delta l_0 et z(t)z(t). 2.2. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) à SS dans le référentiel R\mathcal{R}. En déduire l’équation différentielle régissant le mouvement de z(t)z(t) sous la forme canonique : d2zdt2+2λdzdt+ω02z=0\frac{\text{d}^2 z}{\text{d}t^2} + 2\lambda \frac{\text{d} z}{\text{d}t} + \omega_0^2 z = 0 Exprimer la pulsation propre ω0\omega_0 et le coefficient d’amortissement λ\lambda (ou le facteur de qualité QQ) en fonction des paramètres du système.

  3. Analyse énergétique et régimes transitoires 3.1. Établir l’expression de l’énergie mécanique EmE_m du système (ressort + masse + pesanteur). 3.2. En déduire la puissance des forces non conservatives et montrer que la variation temporelle de l’énergie mécanique s’écrit dEmdt=−hz˙2\frac{\text{d}E_m}{\text{d}t} = -h \dot{z}^2. Interpréter physiquement ce signe. 3.3. Pour une valeur du coefficient de frottement h=2,0 kg⋅s−1h = 2{,}0\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, calculer la valeur de λ\lambda, de la pulsation propre ω0\omega_0, et préciser le régime d’amortissement correspondant.

  4. Excitation harmonique et analyse critique du modèle 4.1. On soumet maintenant le point d’attraction supérieur du ressort à un mouvement vertical sinusoïdal d’équation zp(t)=Zmcos⁡(Ωt)z_p(t) = Z_m \cos(\Omega t). Établir la nouvelle équation différentielle pour l’élongation z(t)z(t). 4.2. Établir l’expression de l’amplitude du régime permanent Zperm(Ω)Z_{\text{perm}}(\Omega) et de la phase ϕ\phi par rapport à l’excitation. 4.3. Analyse critique du modèle : Le modèle linéaire de frottement fluide f⃗=−hv⃗\vec{f} = -h \vec{v} est-il toujours valide pour de grandes amplitudes d’oscillation ? Justifier en citant un phénomène physique négligé ici.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Q1.2 : Penser à projeter la condition d’équilibre statique ∑F⃗ext=0⃗\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} sur l’axe vertical.
  • Q2.2 : Veillez à bien exprimer la force de rappel élastique en fonction de la position zz et de Δl0\Delta l_0. La simplification par la condition d’équilibre statique est une étape clé.
  • Q3.2 : Dériver l’énergie mécanique par rapport au temps et utiliser l’équation différentielle établie à la question 2.2.
  • Q4.2 : L’utilisation de la notation complexe (representation phasorielle) simplifie grandement la recherche de la solution stationnaire pour l’équation différentielle linéaire avec second membre sinusoïdal.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

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1. Étude statique

Section titled “1. Étude statique”

1.1. Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre, supposé galiléen pour une durée d’expérience courte devant les effets de la rotation terrestre (approximation valide par le théorème de Coriolis/entraînement). 1.2. À l’équilibre statique, la somme des forces agissant sur SS est nulle : P⃗+T⃗st=0⃗\vec{P} + \vec{T}_{\text{st}} = \vec{0} En projection sur l’axe (Oz⃗)(O\vec{z}) orienté vers le bas : mg−kΔl0=0  ⟹  Δl0=mgkmg - k \Delta l_0 = 0 \implies \Delta l_0 = \frac{mg}{k} A.N. : Δl0=0,250×9,8140≈6,13×10−2 m=6,13 cm\Delta l_0 = \frac{0{,}250 \times 9{,}81}{40} \approx 6{,}13 \times 10^{-2}\text{ m} = 6{,}13\text{ cm}.

2. Établissement du modèle dynamique

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2.1. La longueur du ressort à l’instant tt est L(t)=L0+Δl0+z(t)L(t) = L_0 + \Delta l_0 + z(t). 2.2. Le PFD appliqué au solide SS dans R\mathcal{R} donne : ma⃗=P⃗+T⃗+f⃗m \vec{a} = \vec{P} + \vec{T} + \vec{f} En projection sur (Oz⃗)(O\vec{z}) : mz¨=mg−k(Δl0+z)−hz˙m \ddot{z} = mg - k(\Delta l_0 + z) - h \dot{z} Puisque mg=kΔl0mg = k \Delta l_0, l’équation devient : mz¨+hz˙+kz=0  ⟹  d2zdt2+hmdzdt+kmz=0m \ddot{z} + h \dot{z} + kz = 0 \implies \frac{\text{d}^2 z}{\text{d}t^2} + \frac{h}{m}\frac{\text{d} z}{\text{d}t} + \frac{k}{m}z = 0 Par identification avec la forme canonique, on obtient :

  • Pulsation propre : ω0=km\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
  • Coefficient d’amortissement : λ=h2m\lambda = \frac{h}{2m} (ou facteur de qualité Q=mω0h=mkhQ = \frac{m \omega_0}{h} = \frac{\sqrt{mk}}{h})

3. Analyse énergétique et régimes transitoires

Section titled “3. Analyse énergétique et régimes transitoires”

3.1. L’énergie mécanique EmE_m est la somme de l’énergie cinétique EcE_c, de l’énergie potentielle élastique EpeE_{pe} et de l’énergie potentielle de pesanteur EppE_{pp} : Em=12mz˙2+12k(Δl0+z)2−mgz+cteE_m = \frac{1}{2}m\dot{z}^2 + \frac{1}{2}k(\Delta l_0 + z)^2 - mgz + \text{cte} 3.2. En dérivant EmE_m par rapport au temps : dEmdt=mz˙z¨+k(Δl0+z)z˙−mgz˙=z˙[mz¨+kΔl0+kz−mg]\frac{\text{d}E_m}{\text{d}t} = m\dot{z}\ddot{z} + k(\Delta l_0 + z)\dot{z} - mg\dot{z} = \dot{z}\left[ m\ddot{z} + k\Delta l_0 + kz - mg \right] Or, d’après l’équation du mouvement, mz¨+kz=−hz˙m\ddot{z} + kz = -h\dot{z} et mg=kΔl0mg = k\Delta l_0. Donc : dEmdt=z˙(−hz˙)=−hz˙2\frac{\text{d}E_m}{\text{d}t} = \dot{z}(-h\dot{z}) = -h \dot{z}^2 Interprétation : Le terme −hz˙2-h\dot{z}^2 est strictement négatif (ou nul si z˙=0\dot{z}=0). Il représente la puissance des forces de frottement, qui sont non conservatives. L’énergie mécanique du système décroît au cours du temps : le système dissipe de l’énergie sous forme thermique.

3.3. Application numérique avec h=2,0 kg⋅s−1h = 2{,}0\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} :

  • ω0=400,250=160≈12,65 rad⋅s−1\omega_0 = \sqrt{\frac{40}{0{,}250}} = \sqrt{160} \approx 12{,}65\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}
  • λ=2,02×0,250=4,0 s−1\lambda = \frac{2{,}0}{2 \times 0{,}250} = 4{,}0\text{ s}^{-1}

Comparaison : λ<ω0\lambda < \omega_0 (λ=4,0\lambda = 4{,}0 et ω0≈12,65\omega_0 \approx 12{,}65). Le système se trouve donc dans le régime pseudo-périodique (ou amorti).

4. Excitation harmonique et analyse critique du modèle

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4.1. Si le point d’attache bouge, la longueur du ressort devient L(t)=L0+Δl0+z(t)−zp(t)L(t) = L_0 + \Delta l_0 + z(t) - z_p(t). Le PFD conduit à : mz¨+hz˙+kz=kzp(t)m \ddot{z} + h \dot{z} + k z = k z_p(t) Soit : d2zdt2+2λdzdt+ω02z=ω02Zmcos⁡(Ωt)\frac{\text{d}^2 z}{\text{d}t^2} + 2\lambda \frac{\text{d} z}{\text{d}t} + \omega_0^2 z = \omega_0^2 Z_m \cos(\Omega t)

4.2. En utilisant la représentation complexe z‾(t)=Z‾ejΩt\underline{z}(t) = \underline{Z} e^{j\Omega t} avec l’excitation z‾p(t)=ZmejΩt\underline{z}_p(t) = Z_m e^{j\Omega t}, l’équation devient : (−Ω2+2jλΩ+ω02)Z‾=ω02Zm  ⟹  Z‾=ω02Zmω02−Ω2+2jλΩ(-\Omega^2 + 2j\lambda\Omega + \omega_0^2)\underline{Z} = \omega_0^2 Z_m \implies \underline{Z} = \frac{\omega_0^2 Z_m}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2j\lambda\Omega} L’amplitude réelle en régime permanent est : Zperm(Ω)=∣Z‾∣=ω02Zm(ω02−Ω2)2+4λ2Ω2Z_{\text{perm}}(\Omega) = |\underline{Z}| = \frac{\omega_0^2 Z_m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2}} Et la phase ϕ=arg⁡(Z‾)\phi = \arg(\underline{Z}) est donnée par : tan⁡ϕ=−2λΩω02−Ω2\tan \phi = \frac{-2\lambda\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}

4.3. Analyse critique du modèle : Le modèle linéaire de frottement fluide (f⃗=−hv⃗\vec{f} = -h\vec{v}) est une approximation valable uniquement pour les faibles vitesses (régime laminaire, nombre de Reynolds faible). Pour de grandes amplitudes d’oscillation, les vitesses augmentent et les effets inertiels du fluide deviennent prépondérants (régime turbulent). La force de frottement s’écrit alors plutôt f⃗′=−12ρCxS∥v⃗∥v⃗\vec{f}' = -\frac{1}{2} \rho C_x S \|\vec{v}\| \vec{v}, ce qui rend l’équation différentielle non linéaire et inintelligible par les méthodes analytiques simples de superposition. Le modèle linéaire n’est donc qu’une idéalisation locale.