Exercice 2 : Diagonalisation et applications aux chaînes de Markov
Problème : Modélisation de l’évolution d’une population d’amphibiens et chaînes de Markov
Section titled “Problème : Modélisation de l’évolution d’une population d’amphibiens et chaînes de Markov”Introduction et contexte biologique
Section titled “Introduction et contexte biologique”En écologie des populations, la modélisation matricielle (dite de Leslie ou de Lefkovitch) est un outil fondamental pour prévoir la démographie d’espèces menacées. On s’intéresse ici à une espèce protégée d’amphibiens (le Triton alpestre) dont le cycle de vie est rudimentairement découpé en deux stades annuels :
- Juvéniles () : individus de moins d’un an.
- Adultes () : individus de plus d’un an, aptes à se reproduire.
À chaque printemps (noté ), on mesure le vecteur d’état de la population , où et représentent les effectifs (normalisés ou en milliers d’individus) dans chaque classe.
L’évolution de la population d’une année sur l’autre est régie par le système dynamique linéaire déterministe suivant :
J_{n+1} = 0.2 \, A_n \\ A_{n+1} = 0.5 \, J_n + 0.6 \, A_n \end{cases}$$ L'objectif de ce problème est d'étudier le comportement à long terme de cette population à l'aide de la réduction des endomorphismes (matrices diagonalisables) et d'analyser la pertinence biologique du modèle. --- ## Partie I : Mise en place et propriétés de la matrice de transition On définit la matrice $M = \begin{pmatrix} 0 & 0.2 \\ 0.5 & 0.6 \end{pmatrix}$, de sorte que pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on a la relation de récurrence vectorielle : $$X_{n+1} = M X_n$$ ### Questions 1. Expliciter $X_n$ en fonction de $M^n$ et de l'état initial $X_0 = \begin{pmatrix} J_0 \\ A_0 \end{pmatrix}$. 2. Déterminer les valeurs propres de la matrice $M$. La matrice $M$ est-elle diagonalisable ? 3. Déterminer une base de vecteurs propres de $M$ et expliciter une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $M = PDP^{-1}$. 4. Calculer $M^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. --- ## Partie II : Étude asymptotique et dynamique des populations 5. En déduire l'expression explicite de $J_n$ et $A_n$ en fonction de $n$, $J_0$ et $A_0$. 6. Déterminer les limites $\lim_{n \to +\infty} J_n$ et $\lim_{n \to +\infty} A_n$ selon les valeurs de $X_0$. 7. Calculer la proportion de juvéniles dans la population totale à long terme, c'est-à-dire la limite de $\frac{J_n}{J_n + A_n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, en supposant $X_0 \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Que remarquez-vous ? --- ## Partie III : Analyse critique du modèle biologique 8. **Analyse critique :** Le modèle linéaire homogène $X_{n+1} = MX_n$ souffre de limites biologiques évidentes lorsque $n$ devient grand. - Que prédit ce modèle si $J_0 + A_0 > 0$ ? - Quelles hypothèses écologiques implicites sont formulées par l'utilisation d'une matrice $M$ constante au cours du temps ? Proposer une modification mathématique simple pour rendre le modèle plus réaliste (sans rédiger les calculs complets). --- ## Pistes et indications * **Piste 1 (Valeurs propres) :** Calculer le polynôme caractéristique $\chi_M(\lambda) = \det(M - \lambda I_2)$. * **Piste 2 (Diagonalisation) :** Comme les valeurs propres sont distinctes et réelles, le théorème spectral ou le critère usuel garantit la diagonalisabilité en dimension 2. * **Piste 3 (Asymptotique) :** Isoler la valeur propre dominante (celle de plus grand module) pour comprendre le comportement en $1^\text{er}$ ordre de $M^n$. * **Piste 4 (Biologie) :** Penser à la capacité de charge du milieu (compétition intraspécifique pour la nourriture ou les sites de ponte). --- ## Corrigé pas à pas ### Partie I_1. Par récurrence immédiate, on montre que $X_n = M^n X_0$. 2. Calculons le polynôme caractéristique de $M$ : $$\chi_M(\lambda) = \det \begin{pmatrix} -\lambda & 0.2 \\ 0.5 & 0.6 - \lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)(0.6 - \lambda) - (0.2 \times 0.5) = \lambda^2 - 0.6\lambda - 0.1$$ Le discriminant vaut $\Delta = (-0.6)^2 - 4(1)(-0.1) = 0.36 + 0.4 = 0.76 > 0$. Les racines (valeurs propres) sont : $$\lambda_1 = \frac{0.6 - \sqrt{0.76}}{2} \quad \text{et} \quad \lambda_2 = \frac{0.6 + \sqrt{0.76}}{2}$$ Puisque $\Delta > 0$, la matrice $M$ possède $2$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{R}$. Étant de taille $2 \times 2$, **$M$ est diagonalisable**. *(Remarque numérique : $\sqrt{0.76} \approx 0.8718$, donc $\lambda_1 \approx -0.1359$ et $\lambda_2 \approx 0.7359$.)* 3. Cherchons les sous-espaces propres associés : * **Pour $\lambda_2 \approx 0.7359$ (valeur propre dominante) :** On résout $(M - \lambda_2 I_2)V = 0$. Les coefficients vérifient $0.5 J + (0.6 - \lambda_2)A = 0$. En posant $A_2 = 1$, on obtient un vecteur propre $V_2 = \begin{pmatrix} \frac{0.2}{\lambda_2} \\ 1 \end{pmatrix}$. * **Pour $\lambda_1$ :** De même, on obtient un vecteur propre $V_1$. En posant $P = \begin{vmatrix} V_1 & V_2 \end{vmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$, on a $M = PDP^{-1}$. 4. Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $M^n = PD^nP^{-1}$, avec $D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix}$. ### Partie II 5. L'expression de $X_n = M^n X_0$ s'écrit sous la forme $X_n = \alpha_1 \lambda_1^n V_1 + \alpha_2 \lambda_2^n V_2$, où $\alpha_1, \alpha_2$ dépendent des conditions initiales $X_0$. 6. Remarquons que $|\lambda_1| \approx 0.1359 < 1$ et $\lambda_2 \approx 0.7359 < 1$. Puisque les deux valeurs propres ont un module strictement inférieur à $1$, on a : $$\lim_{n \to +\infty} \lambda_1^n = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \lambda_2^n = 0$$ Par conséquent, pour **toute** condition initiale $X_0$, $\lim_{n \to +\infty} X_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. La population est menacée d'extinction à terme selon ce modèle brut. 7. Si $\alpha_2 \neq 0$, à grand $N$, le terme dominant est celui associé à $\lambda_2$. Le ratio $\frac{J_n}{J_n + A_n}$ tend vers la proportion portée par le vecteur propre dominant $V_2$. Cette stabilité structurelle de la pyramide des âges indépendamment de l'état initial est l'illustration mathématique du théorème de Perron-Frobenius. ### Partie III 8. **Analyse critique et limites biologiques :** * **Extinction ou explosion non réaliste :** Le modèle linéaire homogène prédit ici une extinction certaine ($\lim X_n = 0$) car la valeur propre spectrale maximale est strictement inférieure à $1$ ($\approx 0.74$). Si les coefficients de reproduction eussent été plus élevés (donnant $\lambda_{\max} > 1$), le modèle aurait prédit une croissance exponentielle infinie ($\lim X_n = +\infty$), ce qui est biologiquement impossible en milieu naturel. * **Absence de non-linéarité :** Les taux de survie et de fertilité ($0.2$, $0.5$, $0.6$) sont supposés constants, indépendants de la densité de population. Or, en écologie, la surpopulation engendre la compétition pour les ressources, réduisant la fertilité et augmentant la mortalité. * **Piste d'amélioration :** Introduire un modèle non linéaire (type modèle de Beverton-Holt ou matrice de Leslie dépendante de l'effectif total $N_n = J_n + A_n$), par exemple en remplaçant $0.2$ par une fonction décroissante de $N_n$ telle que $\frac{0.2}{1 + a(J_n + A_n)}$.