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CPGE Futur

Problème Guidé : Séries de Fourier

Problème : Étude d’une fonction périodique et applications par les Séries de Fourier

Section titled “Problème : Étude d’une fonction périodique et applications par les Séries de Fourier”

En tant qu’examinateur, j’attends des candidats de la filière MP non seulement des calculs rigoureux, mais aussi une parfaite maîtrise des hypothèses des théorèmes de convergence (Dirichlet, Parseval) et une capacité à relier les propriétés de régularité d’une fonction à la vitesse de décroissance de ses coefficients de Fourier.

I. Préliminaires et position du problème

Section titled “I. Préliminaires et position du problème”

Soit f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la fonction 2π2\pi-périodique, impaire, définie sur l’intervalle ]0,π[]0, \pi[ par : f(t)=π−tf(t) = \pi - t

  1. Représenter graphiquement (ou décrire précisément) la fonction ff sur [−2π,2π][-2\pi, 2\pi].
  2. La fonction ff est-elle continue sur R\mathbb{R} ? Est-elle de classe C1\mathcal{C}^1 par morceaux ?

II. Calcul des coefficients de Fourier

Section titled “II. Calcul des coefficients de Fourier”
  1. Justifier l’existence des coefficients de Fourier trigonométriques de ff.
  2. Calculer les coefficients de Fourier réels an(f)a_n(f) et bn(f)b_n(f) pour n∈Nn \in \mathbb{N}.

III. Convergence de la série de Fourier et applications

Section titled “III. Convergence de la série de Fourier et applications”
  1. Énoncer précisément le théorème de Dirichlet (conditions de Dirichlet-Jordan) pour la fonction ff. Que peut-on dire de la convergence de la série de Fourier de ff en tout point t∈Rt \in \mathbb{R} ?
  2. En déduire la valeur de la somme de la série numérique : ∑n=0+∞(−1)n2n+1\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}
  3. Appliquer l’égalité de Parseval à la fonction ff et en déduire la valeur de la somme : ∑n=1+∞1n2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}

CORRIGÉ ET COMMENTAIRES DE L’EXAMINATEUR

Section titled “CORRIGÉ ET COMMENTAIRES DE L’EXAMINATEUR”

I. Préliminaires

Section titled “I. Préliminaires”

  1. Représentation : La fonction est 2π2\pi-périodique et impaire. Sur ]0,π[]0, \pi[, c’est la restriction de la droite t↦π−tt \mapsto \pi - t.

    • En 00 et π\pi, la fonction présente des discontinuités de saut (prolongée par imparité, f(0)=0f(0) = 0).
    • Sur ]π,2π[]\pi, 2\pi[, par 2π2\pi-périodicité et imparité, on a f(t)=−(2π−t)=t−2πf(t) = -(2\pi - t) = t - 2\pi.

  2. Régularité :

    • ff est discontinue aux points de 2πZ2\pi\mathbb{Z}. Elle est donc continue par morceaux sur R\mathbb{R}.
    • Sur chaque intervalle ouvert ]kπ,(k+1)π[]k\pi, (k+1)\pi[, ff coïncide avec une fonction affine, elle est donc de classe C1\mathcal{C}^1. Les dérivées à gauche et à droite existent en tout point. ff est donc de classe C1\mathcal{C}^1 par morceaux.

II. Calcul des coefficients de Fourier

Section titled “II. Calcul des coefficients de Fourier”

  1. Existence : Puisque ff est continue par morceaux et bornée sur R\mathbb{R}, elle est intégrable sur toute période. Ses coefficients de Fourier existent donc.

  2. Calculs :

    • Coefficients an(f)a_n(f) : La fonction ff est impaire, et la fonction t↦f(t)cos⁡(nt)t \mapsto f(t)\cos(nt) est également impaire (produit d’une fonction impaire et d’une fonction paire). Par conséquent, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : an(f)=1π∫−ππf(t)cos⁡(nt) dt=0a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt) \, dt = 0

    • Coefficients bn(f)b_n(f) : La fonction t↦f(t)sin⁡(nt)t \mapsto f(t)\sin(nt) est paire. On a donc : bn(f)=2π∫0π(π−t)sin⁡(nt) dtb_n(f) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - t)\sin(nt) \, dt

      Calculons cette intégrale pour n≥1n \ge 1 à l’aide d’une intégration par parties : ∫0π(π−t)sin⁡(nt) dt=[(π−t)(−cos⁡(nt)n)]0π−∫0π(−1)(−cos⁡(nt)n)dt\int_{0}^{\pi} (\pi - t)\sin(nt) \, dt = \left[ (\pi - t) \left( -\frac{\cos(nt)}{n} \right) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}(-1)\left(-\frac{\cos(nt)}{n}\right)dt Le terme tout intégré s’annule en π\pi (car π−π=0\pi - \pi = 0) et en 00 (car π×(−1n)≠0\pi \times (-\frac{1}{n}) \neq 0, attention ! Reprenons proprement) :

      Correction du calcul du tout-intégré : [(π−t)(−cos⁡(nt)n)]0π=0−(π−0)(−1n)=πn\left[ (\pi - t) \left( -\frac{\cos(nt)}{n} \right) \right]_{0}^{\pi} = 0 - (\pi - 0)\left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{\pi}{n} Pour l’intégrale restante : −∫0πcos⁡(nt)n dt=[−sin⁡(nt)n2]0π=0-\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(nt)}{n} \, dt = \left[ -\frac{\sin(nt)}{n^2} \right]_{0}^{\pi} = 0 Ainsi : ∫0π(π−t)sin⁡(nt) dt=πn\int_{0}^{\pi} (\pi - t)\sin(nt) \, dt = \frac{\pi}{n} On en déduit : bn(f)=2π×πn=2nb_n(f) = \frac{2}{\pi} \times \frac{\pi}{n} = \frac{2}{n}

III. Convergence et applications

Section titled “III. Convergence et applications”

  1. Théorème de Dirichlet : Puisque ff est C1\mathcal{C}^1 par morceaux sur R\mathbb{R}, le théorème de Dirichlet s’applique. Pour tout t∈Rt \in \mathbb{R}, la série de Fourier de ff converge vers : S(f)(t)=f(t+)+f(t−)2S(f)(t) = \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}

    • Si t≠kπt \neq k\pi, ff est continue en tt, donc la série converge vers f(t)f(t).
    • Si t=kπt = k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}), par imparité et 2π2\pi-périodicité, la régularisée en 00 vaut f(0+)+f(0−)2=π+(−π)2=0\frac{f(0^+) + f(0^-)}{2} = \frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0.

    La série de Fourier est donc de la forme : S(f)(t)=∑n=1+∞2nsin⁡(nt)S(f)(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n}\sin(nt)

  2. Somme de la série numérique : Évaluons l’égalité de Dirichlet en t=π2t = \frac{\pi}{2} (point de continuité) : f(π2)=π−π2=π2f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} D’autre part, la série de Fourier en t=π2t = \frac{\pi}{2} vaut : ∑n=1+∞2nsin⁡(nπ2)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n}\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) Observons les valeurs de sin⁡(nπ2)\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) selon nn :

    • Si n=2kn = 2k (pair), sin⁡(kπ)=0\sin(k\pi) = 0.
    • Si n=2k+1n = 2k+1 (impair), sin⁡((2k+1)π2)=(−1)k\sin\left((2k+1)\frac{\pi}{2}\right) = (-1)^k.

    On a donc : π2=∑k=0+∞22k+1(−1)k\frac{\pi}{2} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2}{2k+1} (-1)^k En simplifiant par 22, on obtient le résultat classique de Leibniz : ∑k=0+∞(−1)k2k+1=π4\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}

  3. Égalité de Parseval : La fonction ff étant continue par morceaux et de carré intégrable sur [−π,π][-\pi, \pi], l’égalité de Parseval s’écrit : 1π∫−ππ∣f(t)∣2 dt=a0(f)22+∑n=1+∞(an(f)2+bn(f)2)\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 \, dt = \frac{a_0(f)^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n(f)^2 + b_n(f)^2)

    Calculons le terme de gauche : 1π∫−ππ(π−t)2 dt=2π∫0π(π−t)2 dt\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\pi - t)^2 \, dt = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - t)^2 \, dt En posant u=π−tu = \pi - t : 2π∫0πu2 du=2π[u33]0π=2π23\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} u^2 \, du = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}

    D’autre part, an(f)=0a_n(f) = 0 et bn(f)=2nb_n(f) = \frac{2}{n}, donc : ∑n=1+∞bn(f)2=∑n=1+∞4n2\sum_{n=1}^{+\infty} b_n(f)^2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^2}

    L’égalité de Parseval donne alors : 2π23=∑n=1+∞4n2\frac{2\pi^2}{3} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^2} Soit : ∑n=1+∞1n2=π26\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

💡 Analyse critique et remarques de l’examinateur (MP)

Section titled “💡 Analyse critique et remarques de l’examinateur (MP)”
  • Piège classique : Ne pas oublier de justifier l’existence des coefficients et les conditions d’application de Dirichlet ou Parseval. En concours, une formule juste sans hypothèses explicites perd des points précieux.
  • Lien régularité / décroissance : ff est C1\mathcal{C}^1 par morceaux, ce qui garantit une décroissance des coefficients en O(1/n)O(1/n) (ici en exact 2/n2/n). Par conséquent, la série de Fourier converge normalement sur R\mathbb{R} (via le critère majorant ∑1/n\sum 1/n ? Attention, ∑bnsin⁡(nt)\sum b_n \sin(nt) converge uniformément par Dirichlet, mais la convergence normale de ∑∣bn∣\sum |b_n| est fausse car ∑1/n\sum 1/n diverge. C’est une nuance fondamentale de MP\mathcal{MP} !).