Exercice 1 : Calcul matriciel

Concours CPGE (PTSI) — Mathématiques

Algèbre linéaire et Géométrie 3D : Calcul matriciel (Corrigé pas à pas)

Introduction de l’examinateur

Ce problème aborde un classique des concours de la filière PTSI : l’étude des puissances d’une matrice carrée d’ordre $3$ à l’aide de polynômes annulateurs et de la formule du binôme de Newton.

Les compétences évaluées ici sont fondamentales pour la suite de votre cursus :

La maîtrise du calcul matriciel et de la manipulation des symboles de sommation.
L’exploitation rigoureuse d’une relation de récurrence matricielle.
L’inversion de matrices par des méthodes polynomiales.

Énoncé du problème

On considère la matrice $A$ à coefficients réels définie par : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

On cherche à déterminer l’expression générale de la puissance $A^n$ pour tout entier naturel $n$ , puis à en déduire l’inverse de $A$ .

Corrigé pas à pas

Partie 1 : Décomposition de la matrice et calculs préliminaires

Question 1. Écrire la matrice $A$ sous la forme $A = I_3 + N$ , où $I_3$ est la matrice identité d’ordre $3$ et $N$ une matrice nilpotente dont on précisera l’ordre (c’est-à-dire le plus petit entier $k$ tel que $N^k = 0$ ).

Corrigé : On pose : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = I_3 + N$ avec $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Calculons les puissances successives de $N$ : $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Puis : $N^3 = N^2 \times N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{3,3}$

La matrice $N$ est donc nilpotente d’ordre $3$ .

Partie 2 : Calcul des puissances de $A$

Question 2. Justifier que les matrices $I_3$ et $N$ commutent, puis utiliser la formule du binôme de Newton pour exprimer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Corrigé : La matrice identité $I_3$ commute avec toute matrice carrée du même ordre, en particulier avec $N$ , c’est-à-dire que $I_3 N = N I_3 = N$ .

Puisque $I_3$ et $N$ commutent, nous pouvons appliquer la formule du binôme de Newton pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $A^n = (I_3 + N)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} I_3^{n-k} N^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} N^k$

Puisque $N^k = 0_{3,3}$ pour tout $k \ge 3$ , tous les termes de la somme d’indice $k \ge 3$ sont nuls.

Cas où $n = 0$ : $A^0 = I_3$ (résultat cohérent).
Cas où $n = 1$ : $A^1 = \sum_{k=0}^{1} \binom{1}{k} N^k = I_3 + N = A$ .
Cas où $n = 2$ : $A^2 = I_3 + 2N + N^2$ .
Cas où $n \ge 3$ : $A^n = \binom{n}{0} I_3 + \binom{n}{1} N + \binom{n}{2} N^2$

Explicitons cette expression en remplaçant les coefficients binomiaux pour $n \ge 3$ :

$\binom{n}{0} = 1$
$\binom{n}{1} = n$
$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

Ainsi : $A^n = I_3 + n N + \frac{n(n-1)}{2} N^2$

Vérifions si cette formule reste valable pour $n = 0, 1, 2$ :

Pour $n=0$ : $I_3 + 0 + 0 = I_3$ (vrai).
Pour $n=1$ : $I_3 + N + 0 = I_3 + N = A$ (vrai).
Pour $n=2$ : $I_3 + 2N + N^2$ (vrai).

La formule est donc valable pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Question 3. Expliciter sous forme matricielle les coefficients de $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

Corrigé : Calculons explicitement la matrice $A^n$ : $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{n(n-1)}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & n & n \\ 0 & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

En sommant terme à terme : $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n & n + \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Simplifions le coefficient de la première ligne, troisième colonne : $n + \frac{n^2 - n}{2} = \frac{2n + n^2 - n}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

Finalement : $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Partie 3 : Application à l’inversion de la matrice $A$

Question 4. En utilisant la relation $N = A - I_3$ et le fait que $N^3 = 0$ , trouver un polynôme $P$ tel que $P(A) = 0$ . En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ .

Corrigé : Puisque $N = A - I_3$ et que $N^3 = 0_{3,3}$ , nous avons immédiatement : $(A - I_3)^3 = 0_{3,3}$

Développons cette expression à l’aide des identités remarquables ou du binôme : $A^3 - 3A^2 + 3A - I_3 = 0_{3,3}$

Le polynôme $P(X) = X^3 - 3X^2 + 3X - 1$ est donc un polynôme annulateur de la matrice $A$ .

Pour montrer que $A$ est inversible et calculer son inverse, réécrivons l’égalité précédente en isolant la matrice identité $I_3$ : $I_3 = 3A - 3A^2 + A^3$ $I_3 = A(3I_3 - 3A + A^2)$

Cette relation s’écrit sous la forme $A \times B = I_3$ avec $B = 3I_3 - 3A + A^2$ . Par conséquent, la matrice $A$ est inversible et son inverse est : $A^{-1} = A^2 - 3A + 3I_3$

Vérifions ce résultat à l’aide de notre formule des puissances (avec $n = -1$ ou directement par le calcul polynomial) : Calculons $A^2$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Alors : $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1-3+3 & 2-3+0 & 3-3+0 \\ 0 & 1-3+3 & 2-3+0 \\ 0 & 0 & 1-3+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Analyse critique des résultats

Cohérence dimensionnelle et de type : Toutes les matrices manipulées sont carrées d’ordre $3$ à coefficients réels, ce qui garantit la compatibilité des opérations (additions et multiplications).
Cas particuliers :
- Pour $n = 0$ , la formule générale donne $A^0 = I_3$ , ce qui est exact.
- Pour $n = 1$ , $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A$ , ce qui valide la formule.
Vérification de l’inverse : On peut tester le résultat en calculant le produit $A \times A^{-1}$ : $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1+1 & -1+1 \\ 0 & 1 & -1+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3$ Le calcul est correct. L’utilisation d’un polynôme annulateur s’avère ici beaucoup plus rapide et élégante qu’un pivot de Gauss pour inverser la matrice.