📌 1. Définitions & Cadre d'étude

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le programme de première année de PCSI introduit l’étude des ensembles munis de lois de composition interne, permettant de formaliser les structures de groupes, d’anneaux et de corps.

A. Loi de composition interne

Soit $E$ un ensemble. Une loi de composition interne (l.c.i.) sur $E$ est une application $\star : E \times E \to E$, notée $(x, y) \mapsto x \star y$.

• Associativité : $\forall (x,y,z) \in E^3, \; (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$.
• Commutativité : $\forall (x,y) \in E^2, \; x \star y = y \star x$.
• Élément neutre : Un élément $e \in E$ est neutre pour $\star$ si : $\forall x \in E, \; e \star x = x \star e = x$ S’il existe, l’élément neutre est unique.
• Élément symétrisable : Soit $e$ le neutre de $(E, \star)$. Un élément $x \in E$ est symétrisable s’il existe $x' \in E$ tel que : $x \star x' = x' \star x = e$ Si $\star$ est associative, le symétrique d’un élément est unique.

B. Groupe

Un couple $(G, \star)$ est un groupe si :

1. $\star$ est associative.
2. $G$ possède un élément neutre $e$.
3. Tout élément de $G$ est symétrisable.

Si de plus $\star$ est commutative, le groupe est dit abélien.

Exemples fondamentaux : $(\mathbb{Z}, +)$, $(\mathbb{R}, +)$, $(\mathbb{R}^*, \times)$, $(\mathcal{S}_n, \circ)$ (groupe symétrique pour $n \ge 3$, non abélien).

C. Anneau et Corps

• Un triplet $(A, +, \times)$ est un anneau si :

  1. $(A, +)$ est un groupe abélien (d’élément neutre noté $0_A$).
  2. La loi $\times$ est associative.
  3. La loi $\times$ possède un élément neutre (noté $1_A$, anneau unitaire).
  4. La loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $+$.

• Un anneau $(A, +, \times)$ non réduit à $\{0_A\}$ est un corps si tout élément de $A \setminus \{0_A\}$ est inversible pour $\times$.

• Si de plus la multiplication est commutative, le corps est dit commutatif (ex: $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$).

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Théorème : Unicité de l’élément neutre et des symétriques

Soit $(E, \star)$ une loi associative.

1. S’il existe deux éléments neutres $e$ et $e'$ dans $E$, alors $e = e'$.
2. Si $x \in E$ possède deux symétriques $y$ et $z$, alors $y = z$.

Démonstration :

1. Soit $e$ et $e'$ deux neutres. Par définition du neutre $e'$, on a $e \star e' = e$. Par définition du neutre $e$, on a $e \star e' = e'$. Par transitivité, $e = e'$.
2. Soit $y$ et $z$ deux symétriques de $x$ pour la loi $\star$ associative, d’élément neutre $e$. Considérons le produit $y \star (x \star z)$ :
   • D’une part, $y \star (x \star z) = (y \star x) \star z$ (associativité) $= e \star z = z$.
   • D’autre part, $y \star (x \star z) = y \star (z \star x)^{-1}$ (selon l’ordre) ou plus simplement, en utilisant $x \star z = e$, on a $y \star (x \star z) = y \star e = y$. Donc $y = z$. $\blacksquare$

Proposition : Propriété des inversibles dans un anneau

Soit $(A, +, \times)$ un anneau unitaire. L’ensemble des éléments inversibles de $A$ (noté $A^\times$) muni de la multiplication est un groupe.

Démonstration :

• Stabilité : Soit $(x, y) \in (A^\times)^2$. Il existe $x^{-1}$ et $y^{-1}$ tels que $x \times x^{-1} = 1_A$ et $y \times y^{-1} = 1_A$. Alors $(x \times y) \times (y^{-1} \times x^{-1}) = x \times (y \times y^{-1}) \times x^{-1} = x \times 1_A \times x^{-1} = x \times x^{-1} = 1_A$. De même dans l’autre sens. Donc $x \times y \in A^\times$.
• Associativité : Héritée de l’anneau $A$.
• Neutre : $1_A \times 1_A = 1_A$, donc $1_A \in A^\times$.
• Symétrique : Par définition, tout élément de $A^\times$ possède un inverse dans $A^\times$. $\blacksquare$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

A. Comment démontrer qu’une partie est un sous-groupe ?

Soit $(G, \star)$ un groupe et $H \subset G$. Pour montrer que $(H, \star)$ est un sous-groupe de $G$, on utilise la caractérisation en une seule étape :

1. Non-vacuité : Vérifier que $e_G \in H$ (ou expliciter un élément).
2. Stabilité et symétrie : Montrer que $\forall (x, y) \in H^2, \; x \star y^{-1} \in H$.

Exemple fondamental : L’ensemble des matrices $SL_n(\mathbb{R}) = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \det(M) = 1\}$ est un sous-groupe de $(GL_n(\mathbb{R}), \times)$.

B. Résolution d’équations dans un anneau intègre

Un anneau $(A, +, \times)$ est dit intègre si $A$ n’est pas réduit à $\{0_A\}$ et si : $\forall (x, y) \in A^2, \; x \times y = 0_A \implies (x = 0_A \text{ ou } y = 0_A)$

Méthode : Pour résoudre $x^2 - 3x + 2 = 0_A$ dans un anneau intègre, on factorise : $(x - 1_A) \times (x - 2_A) = 0_A$ Par intégrité, $x - 1_A = 0_A$ ou $x - 2_A = 0_A$, soit $x = 1_A$ ou $x = 2_A$.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oublier la non-vacuité : Lors d’une preuve de sous-structure, ne jamais oublier de vérifier que l’ensemble n’est pas vide (généralement en montrant que le neutre y appartient).
2. Confondre loi additive et multiplicative : Dans un groupe général, la loi est notée $\star$ ou $+$. Attention à ne pas appliquer les règles des espaces vectoriels ou des corps commutatifs (comme la distributivité générale ou l’intégrité) dans des anneaux non intègres (par exemple, l’anneau des matrices $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ pour $n \ge 2$ possède des diviseurs de zéro : $A \times B = 0$ avec $A \neq 0$ et $B \neq 0$).
3. Inversion de l’ordre des éléments : Dans un groupe non commutatif, le symétrique d’un produit est l’inverse des éléments dans l’ordre inversé : $(x \star y)^{-1} = y^{-1} \star x^{-1}$ Une erreur classique consiste à écrire $x^{-1} \star y^{-1}$.