Exercice 1 : Événements et probabilités conditionnelles

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Dans le cadre de la sécurisation des flux d’informations sur un réseau informatique à haut débit, on s’intéresse à la transmission de paquets de données. Un émetteur envoie des paquets successifs qui peuvent subir des interférences ou des altérations lors de leur transit.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère une suite de $n$ transmissions de paquets indépendants. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , on définit les événements suivants :

$A_i$ : « Le $i$ -ème paquet émis est correct. »
$B_i$ : « Le $i$ -ème paquet reçu est déclaré valide par le système de contrôle. »

Les caractéristiques du canal de transmission et du système de contrôle sont modélisées par les hypothèses suivantes :

La probabilité qu’un paquet émis soit correct est $\mathbb{P}(A_i) = p$ , où $p \in ]0, 1[$ . Cette probabilité est supposée constante pour tout $i$ .
Si un paquet est effectivement correct, le système de contrôle commet parfois une erreur de type I (faux négatif / rejet injustifié) avec une probabilité $\alpha \in [0, 1[$ , c’est-à-dire que $\mathbb{P}(\overline{B_i} \mid A_i) = \alpha$ .
Si un paquet est incorrect, le système de contrôle commet parfois une erreur de type II (faux positif / acceptation erronée) avec une probabilité $\beta \in [0, 1[$ , c’est-à-dire que $\mathbb{P}(B_i \mid \overline{A_i}) = \beta$ .

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Calculs préliminaires sur une transmission unique Exprimer la probabilité de l’événement $B_1$ en fonction de $p$ , $\alpha$ et $\beta$ . En déduire la probabilité conditionnelle $\mathbb{P}(A_1 \mid B_1)$ .
Fiabilité globale du canal On pose $p' = \mathbb{P}(A_1 \mid B_1)$ . Sous quelle condition portant sur $p$ , $\alpha$ et a priori $\beta$ a-t-on l’inégalité $p' > p$ ? Interpréter ce résultat de manière critique quant à l’utilité du système de contrôle.
Chaîne de transmissions et probabilités composées On s’intéresse à présent à deux transmissions consécutives ( $n=2$ ). On suppose que les couples d’événements $(A_1, B_1)$ et $(A_2, B_2)$ sont mutuellement indépendants. Calculer la probabilité $\mathbb{P}(A_1 \cap B_2)$ en fonction des paramètres du modèle.
Analyse bayésienne séquentielle Sachant que le deuxième paquet a été déclaré valide par le système ( $B_2$ réalisé), déterminer la probabilité que le premier paquet ait été correct, c’est-à-dire calculer $\mathbb{P}(A_1 \mid B_2)$ .
Étude asymptotique et critique du modèle On fixe $\alpha = 0,05$ et $\beta = 0,01$ .
- Étudier le comportement de $\mathbb{P}(A_1 \mid B_1$ lorsque $p$ tend vers $0$ (cas d’un canal très bruité où les messages corrects sont rares).
- Le modèle d’indépendance entre les paquets successifs est-il réaliste dans une infrastructure réseau physique réelle ? Proposer une critique constructive.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Question 1 : Utilisez la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements $(A_1, \overline{A_1})$ . Pour la probabilité conditionnelle, appliquez la définition rigoureuse et la formule de Bayes.
Question 2 : Posez l’inégalité $p' > p$ et résolvez-la algébriquement en isolant les termes liés à $p$ . Observez l’impact des taux d’erreur $\alpha$ et $\beta$ .
Question 3 : Traduisez l’indépendance des transmissions pour simplifier l’intersection de variables indicées par des temps différents.
Question 4 : Même méthodologie que la question 1, mais appliquée au deuxième processus tout en remontant l’information sur le premier (attention à bien formaliser l’indépendance).
Question 5 : Utilisez un passage à la limite (croissance comparée ou équivalents simples) et discutez des hypothèses physiques sous-jacentes (rafales d’erreurs, saturation du réseau).

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Calculs préliminaires sur une transmission unique

Le système $\{A_1, \overline{A_1}\}$ forme un système complet d’événements. D’après la formule des probabilités totales, on a : $\mathbb{P}(B_1) = \mathbb{P}(B_1 \cap A_1) + \mathbb{P}(B_1 \cap \overline{A_1})$ En utilisant la définition des probabilités conditionnelles : $\mathbb{P}(B_1) = \mathbb{P}(B_1 \mid A_1)\mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(B_1 \mid \overline{A_1})\mathbb{P}(\overline{A_1})$ D’après l’énoncé :

$\mathbb{P}(A_1) = p$ , donc $\mathbb{P}(\overline{A_1}) = 1 - p$ .
$\mathbb{P}(\overline{B_1} \mid A_1) = \alpha \implies \mathbb{P}(B_1 \mid A_1) = 1 - \alpha$ .
$\mathbb{P}(B_1 \mid \overline{A_1}) = \beta$ .

En remplaçant, on obtient : $\mathbb{P}(B_1) = (1 - \alpha)p + \beta(1 - p)$

Pour calculer $p' = \mathbb{P}(A_1 \mid B_1)$ , on utilise la formule de Bayes : $p' = \mathbb{P}(A_1 \mid B_1) = \frac{\mathbb{P}(B_1 \mid A_1)\mathbb{P}(A_1)}{\mathbb{P}(B_1)} = \frac{(1 - \alpha)p}{(1 - \alpha)p + \beta(1 - p)}$

2. Fiabilité globale du canal

Exprimons la condition $p' > p$ : $\frac{(1 - \alpha)p}{(1 - \alpha)p + \beta(1 - p)} > p$ Puisque $p > 0$ et que le dénominateur est strictement positif, on peut diviser par $p$ : $\frac{1 - \alpha}{(1 - \alpha)p + \beta(1 - p)} > 1 \implies 1 - \alpha > (1 - \alpha)p + \beta(1 - p)$ Développons et regroupons les termes : $1 - \alpha > p - \alpha p + \beta - \beta p \implies 1 - \alpha - \beta > p(1 - \alpha - \beta)$ En factorisant : $(1 - p)(1 - \alpha - \beta) > 0$ Comme $p \in ]0, 1[$ , on a $1 - p > 0$ . L’inégalité est donc équivalente à : $1 - \alpha - \beta > 0 \iff \alpha + \beta < 1$

Interprétation critique : Si $\alpha + \beta < 1$ , alors le fait qu’un paquet soit déclaré valide augmente effectivement la confiance que l’on peut avoir dans le fait qu’il soit correct ( $p' > p$ ). Si cette condition n’est pas respectée, le système de contrôle est tellement défaillant qu’il introduit un bruit pire que l’absence de contrôle.

3. Chaîne de transmissions et probabilités composées

On cherche $\mathbb{P}(A_1 \cap B_2)$ . Par hypothèse, les couples $(A_1, B_1)$ et $(A_2, B_2)$ sont indépendants, ce qui implique en particulier que les événements relatifs à l’instant 1 et à l’instant 2 sont indépendants. Ainsi, $A_1$ et $B_2$ sont des événements indépendants. On a donc : $\mathbb{P}(A_1 \cap B_2) = \mathbb{P}(A_1) \times \mathbb{P}(B_2)$ La probabilité $\mathbb{P}(B_2)$ se calcule de la même manière que $\mathbb{P}(B_1)$ (les lois stationnaires étant identiques) : $\mathbb{P}(B_2) = (1 - \alpha)p + \beta(1 - p)$ Par conséquent : $\mathbb{P}(A_1 \cap B_2) = p \big((1 - \alpha)p + \beta(1 - p)\big)$

4. Analyse bayésienne séquentielle

On cherche $\mathbb{P}(A_1 \mid B_2)$ . Par définition de la probabilité conditionnelle : $\mathbb{P}(A_1 \mid B_2) = \frac{\mathbb{P}(A_1 \cap B_2)}{\mathbb{P}(B_2)}$ En remplaçant par les expressions obtenues à la question 3 : $\mathbb{P}(A_1 \mid B_2) = \frac{p \big((1 - \alpha)p + \beta(1 - p)\big)}{(1 - \alpha)p + \beta(1 - p)} = p$

Remarque remarquable : On trouve $\mathbb{P}(A_1 \mid B_2) = p = \mathbb{P}(A_1)$ . Les événements $A_1$ et $B_2$ sont donc indépendants. La validation du second paquet n’apporte aucune information sur l’état du premier paquet émis, ce qui est cohérent avec l’hypothèse d’indépendance temporelle des transmissions.

5. Étude asymptotique et critique du modèle

Étude de $p'$ lorsque $p \to 0$ : Reprenons l’expression de $p'$ avec $\alpha = 0,05$ et $\beta = 0,01$ : $p' = \frac{0,95 p}{0,95 p + 0,01(1 - p)} = \frac{0,95 p}{0,94 p + 0,01}$ Lorsque $p$ tend vers $0$ : $\lim_{p \to 0} p' = \lim_{p \to 0} \frac{0,95 p}{0,94 p + 0,01} = 0$ Analyse critique : Même si le système a un taux de faux positifs très faible ( $\beta = 0,01$ ), si la proportion de messages corrects émis est quasi nulle ( $p \to 0$ ), la majorité des paquets reçus valides proviennent en réalité de faux positifs. Le filtre est saturé d’erreurs.
Critique du modèle d’indépendance : Dans la réalité des réseaux de télécommunications, l’hypothèse d’indépendance entre les paquets successifs $(A_i)$ est souvent mise en défaut. Les perturbations physiques (parasites électromagnétiques, évanouissements par trajets multiples) affectent généralement les signaux par rafales (bursts). Si le paquet $i$ est altéré ( $\overline{A_i}$ ), il y a une forte probabilité que le paquet $i+1$ le soit également. Un modèle plus robuste ferait appel aux chaînes de Markov discrètes pour modéliser la persistance temporelle des erreurs.