Cours : Suites et séries numériques

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le programme de mathématiques de première année de la filière PTSI impose l’étude approfondie des suites et des séries de nombres réels ou complexes. Soit $\mathbb{K}$ le corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

• Suite numérique : Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une application de $\mathbb{N}$ (ou d’une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{K}$.
• Série numérique : Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite. On appelle série numérique, notée $\sum u_n$, la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ des sommes partielles définie par : $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$
• Convergence et divergence :
  • La série $\sum u_n$ est dite convergente si la suite de ses sommes partielles $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une limite finie $S$ dans $\mathbb{K}$. On note alors $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = S$.
  • Si $(S_n)$ diverge (vers l’infini ou sans limite), la série est dite divergente.
• Reste d’une série convergente : Pour une série convergente de somme $S$, le reste d’ordre $n$, noté $R_n$, est défini par $R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$. On a $\lim_{n \to +\infty} R_n = 0$.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

A. Théorèmes généraux sur les suites

• Convergence des suites monotones : Toute suite réelle croissante et majorée est convergente. Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.
• Suites adjacentes : Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si l’une est croissante, l’autre est décroissante, et $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$.
  • Théorème : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

B. Propriétés fondamentales des séries

• Condition nécessaire de convergence :
  • Théorème : Si la série $\sum u_n$ converge, alors la suite $(u_n)$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
  • Piège classique : La réciproque est fausse (exemple de la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$).
• Linéarité des séries convergentes : Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent, alors pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$, la série $\sum (\lambda u_n + \mu v_n)$ converge et : $\sum_{n=0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) = \lambda \sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \mu \sum_{n=0}^{+\infty} v_n$

C. Démonstration clé : Divergence de la série harmonique

• Énoncé : La série $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n}$ diverge vers $+\infty$.
• Démonstration (par minoration des sommes partielles) : Considérons les sommes partielles d’indices $2^p$ pour $p \in \mathbb{N}$. Soit $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Regroupons les termes par paquets de taille $2$ : $S_{2^p} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2^{p-1}+1} + \dots + \frac{1}{2^p}\right)$ Chaque paquet de la forme $\sum_{k=2^{m}+1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k}$ comporte $2^m$ termes, et le plus petit terme de ce paquet est $\frac{1}{2^{m+1}}$. Ainsi, chaque paquet est minoré par : $2^m \times \frac{1}{2^{m+1}} = \frac{1}{2}$ Par conséquent, pour tout $p \in \mathbb{N}$, on a la minoration : $S_{2^p} \ge 1 + \frac{p}{2}$ Par passage à la limite lorsque $p$ tend vers $+\infty$, la suite $(S_{2^p})$ diverge vers $+\infty$. La suite des sommes partielles $(S_n)$ étant croissante et non majorée, elle diverge vers $+\infty$. $\blacksquare$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

A. Étude et calcul des séries de référence

1. Séries géométriques : Pour $q \in \mathbb{K}$ tel que $|q| < 1$, la série $\sum q^n$ converge et sa somme vaut : $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$ Si $|q| \ge 1$ (avec $q \neq 1$), la condition nécessaire n’est pas vérifiée, la série diverge.
2. Séries de Riemann : Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, la série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
3. Séries télescopiques : Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_n = v_{n+1} - v_n$. La série $\sum u_n$ converge si et seulement si la suite $(v_n)$ admet une limite finie. Dans ce cas : $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_{n+1} - v_0$

B. Séries à termes positifs ($\forall n, u_n \ge 0$)

Pour ces séries, la suite des sommes partielles $(S_n)$ est croissante. La convergence équivaut donc à la majoration de $(S_n)$.

• Règle des équivalents : Si $u_n \sim v_n$ avec $u_n \ge 0$ et $v_n \ge 0$, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature.
• Règle des majorations (comparaison) :
  • Si $0 \le u_n \le v_n$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
  • Si $0 \le v_n \le u_n$ et si $\sum v_n$ diverge, alors $\sum u_n$ diverge.

C. Cas des séries à termes quelconques

• Convergence absolue : Une série $\sum u_n$ est dite absolument convergente si la série des valeurs (ou modules) absolues $\sum |u_n|$ converge.
• Théorème fondamental : Toute série absolument convergente est convergente. $\text{Si } \sum |u_n| \text{ converge, alors } \sum u_n \text{ converge.} \quad \left( \left| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right| \le \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n| \right)$

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Confondre suite et série : Écrire $\lim u_n = 0$ pour conclure à la convergence de la série $\sum u_n$. C’est une condition nécessaire mais non suffisante (contre-exemple : $\sum \frac{1}{n}$).
2. Utilisation abusive des équivalents : Appliquer la règle des équivalents sur des séries à termes de signes quelconques. Les théorèmes de comparaison par équivalence ou par majoration/minoration exigent que les termes soient de signe constant (au moins à partir d’un certain rang).
3. Erreur d’indice dans les sommes télescopiques : Oublier d’écrire explicitement la somme partielle $S_n$ avant de passer à la limite, ce qui conduit à des erreurs de décalage d’indices sur les termes extrêmes.
4. Mauvaise manipulation des séries divergentes : Effectuer des opérations algébriques (comme soustraire deux séries divergentes terme à terme) en oubliant que les règles de calcul des limites finies ne s’appliquent pas aux formes indéterminées.