Exercice 1 : Rayon de convergence

Problème guidé : Étude fine et comportement aux bornes d’une série entière à coefficients arithmétiques

Filière : PC
Matière : Mathématiques
Chapitre: ** Séries entières
Thème : Rayon de convergence et analyse asymptotique des coefficients

Énoncé

Dans tout le problème, on s’intéresse à la série entière de la variable complexe $z$ définie par : $f(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n z^n$ où la suite de coefficients $(a_n)_{n \ge 1}$ est donnée par : $a_n = \frac{1}{n^\alpha \ln(n+1)}$ avec $\alpha$ un paramètre réel fixé.

L’objectif de ce problème est de déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière, d’étudier son comportement sur le cercle de convergence, et enfin d’analyser les limites de ce modèle mathématique dans le cadre de la modélisation de signaux physiques amortis.

Questions

Détermination préliminaire : Rappeler la définition du rayon de convergence d’une série entière et énoncer le critère de d’Alembert (version limite) ainsi que la règle de Cauchy.
Calcul du rayon de convergence : À l’aide d’une règle adaptée, déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière définissant $f(z)$ , en fonction de la valeur de $\alpha$ .
Étude sur le bord (Cas $\alpha > 1$ ) : On suppose dans cette question que $\alpha > 1$ $α > 1$ .
- a) Étudier la convergence de la série numérique sur le cercle ouvert de convergence $|z| = R$ .
- b) Préciser la nature de la convergence (simple, uniforme) sur le disque fermé $\overline{D}(0, R)$ .
Comportement aux limites et critique du modèle :
- a) Que se passe-t-il lorsque $\alpha \le 1$ sur le bord du domaine de convergence ?
- b) Analyse critique : Supposons que ces coefficients $a_n$ modèlent l’amplitude des modes spectraux d’un système physique transitoire. Discutez des limites physiques et mathématiques de ce modèle lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et lorsque $z$ s’approche de la frontière du disque de convergence.

Pistes et Indications

Question 2 : L’expression avec un $\ln(n+1)$ se prête bien à l’utilisation du critère de Cauchy ou du critère de d’Alembert discret. Pensez à utiliser des équivalents classiques pour lever les indéterminations.
Question 3 : Utilisez les critères de comparaison des séries à termes réels positifs ou le critère de Bertrand pour les séries de Riemann généralisées.
Question 4 : Pour l’analyse critique, examinez la régularité de la fonction somme au voisinage de $z=R$ et questionnez la validité de l’hypothèse de continuité des flux d’énergie.

Corrigé pas à pas

1. Détermination préliminaire

Le rayon de convergence $R \in [0, +\infty]$ d’une série entière $\sum a_n z^n$ est le sup (éventuellement infini) des $r \ge 0$ tels que la suite $(|a_n|r^n)$ soit bornée.

Règle de d’Alembert : Si $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$ , alors $R = \frac{1}{L}$ (avec la convention $1/0 = +\infty$ et $1/\infty = 0$ ).
Règle de Cauchy : Si $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$ , alors $R = \frac{1}{L}$ .

2. Calcul du rayon de convergence

Appliquons la règle de d’Alembert (ou de Cauchy). Calculons le quotient $|a_{n+1}/a_n|$ : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n^\alpha \ln(n+1)}{(n+1)^\alpha \ln(n+2)} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha \frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}$

Analysons la limite lorsque $n \to +\infty$ :

$\left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^\alpha \to 1$
$\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)} = \frac{\ln(n) + \ln(1 + 1/n)}{\ln(n) + \ln(1 + 2/n)} = \frac{1 + o(1)}{1 + o(1)} \to 1$

Ainsi, $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$ . Par conséquent, le rayon de convergence de la série entière est $R = 1$ , et ce, quelles que soient les valeurs du paramètre réel $\alpha$ .

3. Étude sur le bord (Cas $\alpha > 1$ )

a) Convergence sur le cercle $|z| = 1$ : Soit $z = e^{i\theta}$ . Le terme général de la série numérique est le module $|a_n z^n| = |a_n| = \frac{1}{n^\alpha \ln(n+1)}$ . Puisque $\ln(n+1) \underset{n\to\infty}{\sim} \ln(n)$ , on a : $|a_n| \underset{n\to\infty}{\sim} \frac{1}{n^\alpha \ln(n)}$ Par le critère de Bertrand (ou comparaison avec une intégrale de type $\int^+\frac{dt}{t^\alpha (\ln t)^\beta}$ ), la série $\sum |a_n|$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ (ou si $\alpha = 1$ et $\beta > 1$ , ici $\beta = 1$ donc diverge pour $\alpha=1$ ). Donc, pour $\alpha > 1$ , la série converge normalement (donc absolument et uniformément) sur le disque fermé $\overline{D}(0, 1)$ .
b) Nature de la convergence : La convergence est normale sur $\overline{D}(0, 1)$ car $\sup_{|z|\le 1} |a_n z^n| = a_n$ et $\sum a_n$ converge. La somme $f$ est donc continue sur $\overline{D}(0, 1)$ .

4. Comportement aux limites et critique du modèle

a) Cas $\alpha \le 1$ : Pour $\alpha \le 1$ , le terme général ne tend pas assez vite vers 0 (ou la minoration par les séries de Bertrand échoue), la série diverge grossièrement ou diverge par non-absolue convergence sur le cercle unité.
b) Analyse critique des limites du modèle : Dans une modélisation physique (par exemple en électromagnétisme ou en mécanique des fluides dissipative), les coefficients $a_n$ représentent l’énergie ou l’amplitude portée par le mode $n$ .

Limites mathématiques : Le modèle présuppose une transition brutale de comportement en $z=1$ dictée uniquement par l’asymptotique de $n$ . En réalité, les systèmes physiques réels lissent ces singularités par des termes dissipatifs non négligeables aux hautes fréquences ( $n$ grand).
Limites physiques du modèle discret : Lorsque $z \to 1^-$ avec $\alpha \le 1$ , la fonction $f(z)$ diverge vers $+\infty$ . Physiquement, cela impliquerait une énergie infinie stockée dans le système, ce qui viole le principe de conservation de l’énergie. Le modèle mathématique de la série entière montre ici sa limite : il néglige les effets non-linéaires de saturation qui, dans la réalité physique, borneraient l’amplitude des modes.