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Cours : Algèbre linéaire et Géométrie 3D

Fiche de Cours : Algèbre linéaire et Géométrie 3D

Section titled “Fiche de Cours : Algèbre linéaire et Géométrie 3D”

Classe: ** PTSI
Matière : Mathématiques

Introduction et Objectifs

Section titled “Introduction et Objectifs”

Ce chapitre fait le pont entre l’algèbre linéaire abstraite (espaces vectoriels, applications linéaires, matrices) et la géométrie classique de l’espace affine euclidien de dimension 3 (E3\mathcal{E}_3). L’objectif est d’utiliser les outils matriciels et vectoriels pour résoudre des problèmes géométriques métriques et vectoriels (droites, plans, isométries).

I. Rappels de Géométrie Vectorielle en Dimension 3

Section titled “I. Rappels de Géométrie Vectorielle en Dimension 3”

1. Espace vectoriel R3\mathbb{R}^3 et structure euclidienne

Section titled “1. Espace vectoriel R3\mathbb{R}^3R3 et structure euclidienne”

L’espace R3\mathbb{R}^3 muni de sa base canonique B=(i⃗,j⃗,k⃗)\mathcal{B} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est un R\mathbb{R}-espace vectoriel de dimension 3. Il est doté d’un produit scalaire usuel : pour u⃗=(x,y,z)\vec{u} = (x, y, z) et v⃗=(x′,y′,z′)\vec{v} = (x', y', z'), u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' Ce produit scalaire induit une norme (la longueur) : ∥u⃗∥=u⃗⋅u⃗=x2+y2+z2\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

2. Produit vectoriel

Section titled “2. Produit vectoriel”

Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs u⃗(x,y,z)\vec{u}(x, y, z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec{v}(x', y', z') dans une base orthonormée directe est le vecteur w⃗=u⃗∧v⃗\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v} défini par : u⃗∧v⃗=(yz′−zy′zx′−xz′xy′−yx′)\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \\ zx' - xz' \\ xy' - yx' \end{pmatrix} Notation mnémotechnique : u⃗∧v⃗=det⁡(i⃗xx′j⃗yy′k⃗zz′)\vec{u} \wedge \vec{v} = \det \begin{pmatrix} \vec{i} & x & x' \\ \vec{j} & y & y' \\ \vec{k} & z & z' \end{pmatrix}.

Propriétés fondamentales :

  • Bilinearité et antisymétrie (v⃗∧u⃗=−u⃗∧v⃗\vec{v} \wedge \vec{u} = - \vec{u} \wedge \vec{v}).
  • u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  (u⃗,v⃗) est lieˊe\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff (\vec{u}, \vec{v}) \text{ est liée}.
  • Le vecteur u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v} est orthogonal à la fois à u⃗\vec{u} et à v⃗\vec{v}.
  • Le trièdre (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v}) est direct.
  • Norme : ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡(θ)\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\theta), où θ\theta est l’angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} (aire du parallélogramme engendré).

3. Produit mixte

Section titled “3. Produit mixte”

Définition : Le produit mixte de trois vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} est le réel : [u⃗,v⃗,w⃗]=(u⃗∧v⃗)⋅w⃗[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}

  • Il correspond au déterminant de la matrice formée par les coordonnées des trois vecteurs dans une base orthonormée directe.
  • Il est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires (liés).
  • Sa valeur absolue représente le volume du parallélépipède engendré par u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.

II. Géométrie Affine de l’Espace E3\mathcal{E}_3

Section titled “II. Géométrie Affine de l’Espace E3\mathcal{E}_3E3​”

On note E3\mathcal{E}_3 l’espace affine associé à l’espace vectoriel E⃗3≃R3\vec{\mathcal{E}}_3 \simeq \mathbb{R}^3. Un repère cartésien de E3\mathcal{E}_3 est noté R=(O,i⃗,j⃗,k⃗)\mathcal{R} = (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}).

1. Droites et Plans

Section titled “1. Droites et Plans”
  • Plan affine : Défini par un point AA et deux vecteurs directeurs non colinéaires u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, ou par une équation cartésienne : ax+by+cz+d=0(avec (a,b,c)≠(0,0,0))ax + by + cz + d = 0 \quad (\text{avec } (a, b, c) \neq (0, 0, 0)) Le vecteur n⃗=(abc)\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} est normal au plan.
  • Droite affine : Définie par un point AA et un vecteur directeur u⃗≠0⃗\vec{u} \neq \vec{0}, ou par un système d’équations cartésiennes (intersection de deux plans non parallèles) : {ax+by+cz+d=0a′x+b′y+c′z+d′=0\begin{cases} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d' = 0 \end{cases}

2. Distances et Projections

Section titled “2. Distances et Projections”
  • Distance d’un point M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) à un plan P:ax+by+cz+d=0\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0 : d(M0,P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M_0, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
  • Distance d’un point M0M_0 à une droite D=(A,u⃗)\mathcal{D} = (A, \vec{u}) : d(M0,D)=∥AM0→∧u⃗∥∥u⃗∥d(M_0, \mathcal{D}) = \frac{\|\overrightarrow{AM_0} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}

III. Applications Linéaires et Matrices en Dimension 3

Section titled “III. Applications Linéaires et Matrices en Dimension 3”

1. Matrice d’une application linéaire

Section titled “1. Matrice d’une application linéaire”

Soit EE un KK-espace vectoriel de dimension 3, et B=(e⃗1,e⃗2,e⃗3)\mathcal{B} = (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) une base de EE. Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E). La matrice M=MatB(f)M = \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f) est la matrice 3×33 \times 3 dont les colonnes sont les coordonnées des images des vecteurs de la base :

\vert & \vert & \vert \\ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f(\vec{e}_1)) & \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f(\vec{e}_2)) & \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f(\vec{e}_3)) \\ \vert & \vert & \vert \end{pmatrix}$$ ### 2. Changement de base Soient $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ deux bases de $E$. Soit $P = \text{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}')$ la **matrice de passage** de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$. Si $X$ est le vecteur colonne des coordonnées dans $\mathcal{B}$ et $X'$ dans $\mathcal{B}'$ d'un même vecteur $\vec{x}$, alors : $$X = P X'$$ Pour une application linéaire $f$, si $A = \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ et $A' = \text{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$, la formule de changement de base est : $$A' = P^{-1} A P$$ --- ## IV. Isométries Vectorielles de $\mathbb{R}^3$ (Si $\mathcal{B}$ est orthonormée) Une isométrie vectorielle (ou endomorphisme orthogonal) est un endomorphisme $f$ qui conserve le produit scalaire : $\forall \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3, \quad f(\vec{u}) \cdot f(\vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{v}$. ### 1. Caractérisation matricielle La matrice $M$ de $f$ dans une base orthonormée est une **matrice orthogonale**, c'est-à-dire qu'elle vérifie : $$M^T M = I_3 \iff M^{-1} = M^T$$ De plus, son déterminant vaut $\det(M) = \pm 1$. ### 2. Classification géométrique en dimension 3 Soit $f$ une isométrie vectorielle de $\mathbb{R}^3$ de matrice $M$ dans une base orthonormée directe : * **Si $\det(M) = 1$ ($f$ est une rotation directe) :** * L'axe de la rotation est l'espace propre associé à la valeur propre $1$ (de dimension 1). * L'angle $\theta$ de la rotation est donné par la trace de la matrice : $\text{Tr}(M) = 1 + 2\cos(\theta)$. * **Si $\det(M) = -1$ ($f$ est une antirotation) :** * Il s'agit d'une **réflexion** (symétrie par rapport à un plan, $\text{Mat} = \text{diag}(1, 1, -1)$) ou d'une **rotation-réflexion** (composée d'une rotation d'axe $\mathcal{D}$ et d'une réflexion par rapport au plan orthogonal à $\mathcal{D}$). --- ## V. Méthodes et Savoir-Faire en PTSI 1. **Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan :** Injecter les équations paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan. 2. **Trouver la matrice d'une projection orthogonale :** * Soit géométriquement en utilisant une base adaptée (vecteurs du plan de projection associés à la valeur propre $1$, vecteur normal associé à la valeur propre $0$). * Soit par la formule analytique pour un plan d'équation $ax+by+cz=0$ : $\vec{n} = (a,b,c)$ et $P = I_3 - \frac{1}{\|\vec{n}\|^2} \vec{n}\vec{n}^T$. 3. **Réduire une isométrie :** Toujours chercher les valeurs propres évidentes ($\lambda = 1$ ou $\lambda = -1$) en calculant $\det(M - I_3)$ ou $\det(M + I_3)$.