Cours : Optique géométrique et Mécanique des fluides

Optique géométrique et Mécanique des fluides

Filière : BCPST 1ère année — Physique-Chimie
Auteur: ** Professeur agrégé en CPGE

MODULE I : Optique Géométrique

L’optique géométrique étudie la propagation de la lumière à l’aide de la notion de rayon lumineux, valable lorsque les dimensions des obstacles ou des ouvertures sont très grandes devant la longueur d’onde $\lambda$ du rayonnement ( $\lambda \to 0$ ).

1. Lois de Snell-Descartes

Soit un dioptre séparant deux milieux transparents, homogènes et isotropes d’indices optiques respectifs $n_1$ et $n_2$ (avec $n = \frac{c}{v} \ge 1$ ).

1ère loi (Réflexion et Réfraction) : Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d’incidence (plan défini par le rayon incident et la normale au dioptre au point d’incidence).
2ème loi (Réflexion) : L’angle de réflexion $\theta_r$ est égal à l’angle d’incidence $\theta_1$ en valeur algébrique : $\theta_r = -\theta_1$
3ème loi (Réfraction) : Les angles d’incidence $\theta_1$ et de réfraction $\theta_2$ relient les indices par la relation : $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

Phénomène de réflexion totale : Si $n_1 > n_2$ , il existe un angle limite d’incidence $\theta_{\text{lim}} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$ au-delà duquel aucun rayon réfracté n’existe ; toute la lumière est réfléchie.

2. Systèmes Centrés et Stigmatisme

Stigmatisme rigoureux : Un système est stigmatique pour un point source $A$ si tous les rayons issus de $A$ convergent, après traversée du système, en un même point $A'$ .
Conditions de Gauss : Pour obtenir un stigmatisme approché (et une image nette sur un plan de， $p$ $p$ ar exemple), on se place dans les conditions de Gauss :
1. Les rayons incidents font un angle petit avec l’axe optique.
2. Les rayons incidents sont peu éloignés du sommet du système.

3. Lentilles Minces

Une lentille est dite mince si son épaisseur au centre est négligeable devant les rayons de courbure de ses faces et devant la distance focale.

Vergence ( $V$ ) : Exprimée en dioptries ( $\text{δ}$ ou $\text{m}^{-1}$ ), elle vaut : $V = \frac{1}{\overline{FF'}} = \frac{1}{f'}$ où $f'$ est la distance focale image. $V > 0$ pour une lentille convergente, $V < 0$ pour une lentille divergente.
Relation de conjugaison avec origine au centre optique $O$ : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF'}} = V$
Grandissement transversal ( $\gamma$ ) : $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

MODULE II : Mécanique des Fluides

Un fluide (liquide ou gaz) est un milieu matériel continu, déformable et qui s’écoule.

1. Statique des fluides

Dans un référentiel galiléen, pour un fluide au repos soumis uniquement à la pesanteur $\vec{g} = -g \vec{e}_z$ (avec $z$ orienté vers le haut) :

Principe fondamental de la statique des fluides (PFSF) : $\vec{gradient}(P) = \rho \vec{g}$ En projection sur l’axe vertical $z$ : $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\rho g$
Relation de barométrie / Loi fondamentale de l’hydrostatique : Entre deux points $1$ et $2$ d’un fluide incompressible ( $\rho = \text{ctte}$ ) : $P_2 - P_1 = -\rho g (z_2 - z_1) \implies P_1 + \rho g z_1 = P_2 + \rho g z_2 = \text{constante}$

2. Dynamique des fluides parfaits

Un fluide parfait est un fluide non visqueux (les forces de frottement internes sont nulles).

Débit volumique ( $D_v$ )

Pour une section $S$ traversée par un fluide à la vitesse $v$ (supposée uniforme sur la section) : $D_v = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = v \cdot S \quad (\text{en } \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1})$

Conservation de la masse (Équation de continuité)

Pour un écoulement stationnaire d’un fluide incompressible ( $\rho = \text{ctte}$ ) : $D_{v,1} = D_{v,2} \implies v_1 S_1 = v_2 S_2$

3. Théorème de Bernoulli

Le théorème de Bernoulli est une application du théorème de l’énergie cinétique à une particule fluide le long d’une ligne de courant.

Pour un écoulement stationnaire, incompressebiel et non visqueux d’un fluide de masse volumique $\rho$ : $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z = \text{constante le long d'une ligne de courant}$

$P$ : Pression statique ( $\text{Pa}$ )
$\frac{1}{2} \rho v^2$ : Pression dynamique ( $\text{Pa}$ )
$\rho g z$ : Pression de pesanteur ( $\text{Pa}$ )

Application classique (Vidange - Torricelli) : Soit un grand réservoir ouvert à l’air libre à la pression $P_0$ , muni d’un petit orifice de surface $S_2$ situé à une hauteur $h$ sous la surface libre $S_1$ . En appliquant Bernoulli entre la surface (1) et l’orifice (2) : $v_2 = \sqrt{2gh}$

4. Éléments sur les fluides réels (Viscosité)

Les fluides réels présentent des frottements internes caractérisés par leur viscosité dynamique $\eta$ (exprimée en $\text{Pa}\cdot\text{s}$ ou $\text{Poiseuille}$ ).

Nombre de Reynolds ( $\text{Re}$ ) : Grandeur sans dimension caractérisant la nature de l’écoulement dans une conduites cylindrique de diamètre $D$ : $\text{Re} = \frac{\rho v D}{\eta}$
- $\text{Re} \lesssim 2000$ : Écoulement laminaire (ordonné, prépondérance des forces visqueuses).
- $\text{Re} \gtrsim 4000$ : Écoulement turbulent (chaotique, tourbillonnaire).
Loi de Poiseuille (Écoulement laminaire stationnaire en conduite cylindrique) : Le débit volumique est lié à la différence de pression $\Delta P$ entre les extrémités d’un tube de rayon $R$ et de longueur $L$ : $D_v = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8 \eta L}$ Note biologique importante : Cette dépendance en $R^4$ (loi de Hagen-Poiseuille) illustre le rôle primordial de la vasomotricité (vasodilatation/vasoconstriction) dans la régulation du débit sanguin.