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CPGE Futur

Exercice 1 : Vecteur de Poynting

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Le présent problème s’intéresse à l’énergétique du champ électromagnétique dans le cadre de l’électromagnétisme classique des milieux continus. On se place dans le système international d’unités (SI). Les champs électrique E⃗\vec{E} et magnétique B⃗\vec{B} règnent dans le vide (de permittivité diélectrique ε0\varepsilon_0 et de perméabilité magnétique μ0\mu_0). On pose c=1ε0μ0c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} la vitesse de la lumière dans le vide.

L’objectif est d’établir le théorème de Poynting traduisant la conservation locale de l’énergie électromagnétique, puis d’appliquer ce formalisme à un exemple concret de propagation d’une onde électromagnétique sinusoïdale plane, avant de discuter des limites du modèle par une analyse critique.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)”
  1. Rappels et équations de Maxwell : Écrire les équations de Maxwell dans le vide en présence d’une densité volumique de charge libre ρ\rho et d’une densité volumique de courant libre j⃗\vec{j}.
  2. Établissement du théorème de Poynting (Forme locale) :
    • En partant des équations de Maxwell, calculer le produit scalaire j⃗⋅E⃗\vec{j} \cdot \vec{E}.
    • À l’aide d’une identité vectorielle judicieuse, transformer le terme lié au rotationnel du champ magnétique pour faire apparaître la dérivée temporelle de la densité volumique d’énergie électromagnétique uu et le vecteur de Poynting R⃗\vec{R}.
    • Exprimer uu et R⃗\vec{R} en fonction de E⃗\vec{E}, B⃗\vec{B}, ε0\varepsilon_0 et μ0\mu_0, et préciser leurs unités respectives.
  3. Application à une onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale (OEMPPS) :
    • On considère une onde se propageant dans la direction des zz croissants, polarisée rectilignement selon l’axe (Ox)(Ox). Écrire le champ électrique E⃗(z,t)\vec{E}(z,t) et en déduire le champ magnétique B⃗(z,t)\vec{B}(z,t) associé.
    • Calculer le vecteur de Poynting R⃗(z,t)\vec{R}(z,t) pour cette onde.
    • Définir la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting, notée ⟨R⃗⟩\langle \vec{R} \rangle, et l’exprimer en fonction de l’amplitude du champ électrique E0E_0.
  4. Analyse critique du modèle :
    • Dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) ou pour un conducteur ohmique parfait (loi d’Ohm j⃗=γE⃗\vec{j} = \gamma \vec{E} avec γ→∞\gamma \to \infty), que devient le terme j⃗⋅E⃗\vec{j} \cdot \vec{E} du théorème de Poynting ? Comment interpréter ce terme physiquement ?
    • Discutez brièvement d’une limite fondamentale du modèle macroscopique de Maxwell-Poynting lorsque la fréquence de l’onde devient extrêmement élevée (domaines des rayons X ou gamma), ou lorsque l’intensité du champ devient colossale.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 2 : Pensez à l’identité vectorielle portant sur la divergence d’un produit mixte vectoriel : div(A⃗∧B⃗)=B⃗⋅(∇⃗∧A⃗)−A⃗⋅(∇⃗∧B⃗)\text{div}(\vec{A} \wedge \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{B}).
  • Question 3 : Utilisez la relation de structure des ondes planes et progressives dans le vide liant E⃗\vec{E}, B⃗\vec{B} et le vecteur d’onde k⃗\vec{k}. Rappelez-vous que la moyenne temporelle d’un carré de fonction sinusoïdale sur une période est égale à 1/21/2.
  • Question 4 : Faites le lien entre j⃗⋅E⃗\vec{j} \cdot \vec{E} et l’effet Joule macroscopique. Pour la critique, pensez à la nature corpusculaire de la lumière (photons) qui n’est pas décrite par l’électromagnétisme classique.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Équations de Maxwell dans le vide

Section titled “1. Équations de Maxwell dans le vide”

Les équations de Maxwell s’écrivent :

  • Maxwell-Gauss : divE⃗=ρε0\text{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
  • Maxwell-Thomson : divB⃗=0\text{div}\vec{B} = 0
  • Maxwell-Faraday : rotE⃗=−∂B⃗∂t\text{rot}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
  • Maxwell-Ampère : rotB⃗=μ0j⃗+ε0μ0∂E⃗∂t\text{rot}\vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

2. Établissement du théorème de Poynting (Forme locale)

Section titled “2. Établissement du théorème de Poynting (Forme locale)”

Formons le produit scalaire j⃗⋅E⃗\vec{j} \cdot \vec{E} à partir de l’équation de Maxwell-Ampère : j⃗=1μ0rotB⃗−ε0∂E⃗∂t\vec{j} = \frac{1}{\mu_0} \text{rot}\vec{B} - \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

En multipliant scalairement par E⃗\vec{E} : j⃗⋅E⃗=1μ0E⃗⋅rotB⃗−ε0E⃗⋅∂E⃗∂t\vec{j} \cdot \vec{E} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \cdot \text{rot}\vec{B} - \varepsilon_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Utilisons l’identité vectorielle de la divergence d’un produit vectoriel : div(E⃗∧B⃗)=B⃗⋅rotE⃗−E⃗⋅rotB⃗\text{div}(\vec{E} \wedge \vec{B}) = \vec{B} \cdot \text{rot}\vec{E} - \vec{E} \cdot \text{rot}\vec{B} Soit : E⃗⋅rotB⃗=B⃗⋅rotE⃗−div(E⃗∧B⃗)\vec{E} \cdot \text{rot}\vec{B} = \vec{B} \cdot \text{rot}\vec{E} - \text{div}(\vec{E} \wedge \vec{B})

Substituons rotE⃗\text{rot}\vec{E} par −∂B⃗∂t-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} (Maxwell-Faraday) : E⃗⋅rotB⃗=B⃗⋅(−∂B⃗∂t)−div(E⃗∧B⃗)=−B⃗⋅∂B⃗∂t−div(E⃗∧B⃗)\vec{E} \cdot \text{rot}\vec{B} = \vec{B} \cdot \left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) - \text{div}(\vec{E} \wedge \vec{B}) = - \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} - \text{div}(\vec{E} \wedge \vec{B})

Injectons ce résultat dans l’expression de j⃗⋅E⃗\vec{j} \cdot \vec{E} : j⃗⋅E⃗=1μ0(−B⃗⋅∂B⃗∂t−div(E⃗∧B⃗))−ε0E⃗⋅∂E⃗∂t\vec{j} \cdot \vec{E} = \frac{1}{\mu_0} \left( - \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} - \text{div}(\vec{E} \wedge \vec{B}) \right) - \varepsilon_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

En réorganisant les termes temporels : j⃗⋅E⃗=−(ε0E⃗⋅∂E⃗∂t+1μ0B⃗⋅∂B⃗∂t)−1μ0div(E⃗∧B⃗)\vec{j} \cdot \vec{E} = - \left( \varepsilon_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) - \frac{1}{\mu_0} \text{div}(\vec{E} \wedge \vec{B})

Remarquons que : ε0E⃗⋅∂E⃗∂t=∂∂t(12ε0E2)et1μ0B⃗⋅∂B⃗∂t=∂∂t(12μ0B2)\varepsilon_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\right) \quad \text{et} \quad \frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2\mu_0} B^2\right)

On obtient finalement l’équation de conservation locale (Théorème de Poynting) : ∂u∂t+divR⃗=−j⃗⋅E⃗\boxed{\frac{\partial u}{\partial t} + \text{div}\vec{R} = -\vec{j} \cdot \vec{E}}

Avec :

  • u=12ε0E2+12μ0B2u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2, densité volumique d’énergie électromagnétique, en J⋅m−3\text{J}\cdot\text{m}^{-3}.
  • R⃗=1μ0E⃗∧B⃗\vec{R} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \wedge \vec{B}, vecteur de Poynting, en W⋅m−2\text{W}\cdot\text{m}^{-2} (exprimant un flux surfacique de puissance).

3. Application à une OEMPPS

Section titled “3. Application à une OEMPPS”

  • L’onde se propageant selon (Oz)(Oz) et polarisée selon (Ox)(Ox) s’écrit sous la forme : E⃗(z,t)=E0cos⁡(ωt−kz)u⃗x\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x La relation de structure pour une onde plane progressive se propageant dans le sens des zz croissants donne le champ magnétique associé : B⃗(z,t)=1cu⃗z∧E⃗(z,t)=E0ccos⁡(ωt−kz)u⃗y\vec{B}(z,t) = \frac{1}{c} \vec{u}_z \wedge \vec{E}(z,t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y

  • Calculons le vecteur de Poynting R⃗\vec{R} : R⃗(z,t)=1μ0[E0cos⁡(ωt−kz)u⃗x∧E0ccos⁡(ωt−kz)u⃗y]\vec{R}(z,t) = \frac{1}{\mu_0} \left[ E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x \wedge \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y \right] Comme u⃗x∧u⃗y=u⃗z\vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z et sachant que c=1ε0μ0c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, on a 1μ0c=ε0μ0μ0=ε0/μ0=ε0c\frac{1}{\mu_0 c} = \frac{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}{\mu_0} = \sqrt{\varepsilon_0 / \mu_0} = \varepsilon_0 c. R⃗(z,t)=E02μ0ccos⁡2(ωt−kz)u⃗z\boxed{\vec{R}(z,t) = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z}

  • Valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting (sur une période T=2πωT = \frac{2\pi}{\omega}) : La moyenne temporelle de cos⁡2(ωt−kz)\cos^2(\omega t - kz) vaut 12\frac{1}{2}. Par conséquent : ⟨R⃗⟩=E022μ0cu⃗z\boxed{\langle \vec{R} \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} \vec{u}_z}

4. Analyse critique du modèle

Section titled “4. Analyse critique du modèle”
  • Interprétation de j⃗⋅E⃗\vec{j} \cdot \vec{E} : Dans un conducteur obéissant à la loi d’Ohm locale j⃗=γE⃗\vec{j} = \gamma \vec{E} (où γ\gamma est la conductivité), le terme j⃗⋅E⃗=γE2\vec{j} \cdot \vec{E} = \gamma E^2 est strictement positif. Dans le théorème de Poynting, il apparaît avec un signe négatif dans le membre de droite si l’on écrit ∂u∂t+divR⃗=−j⃗⋅E⃗\frac{\partial u}{\partial t} + \text{div}\vec{R} = -\vec{j}\cdot\vec{E}, ou positif si on l’isole comme source de perte : il traduit la conversion irréversible d’énergie électromagnétique en énergie thermique (effet Joule macroscopique).
  • Limites fondamentales du modèle :
    1. À très haute fréquence (domaines quantiques) : L’électromagnétisme classique suppose des champs continus et néglige la nature quantique de la lumière. Lorsque l’énergie des photons hνh\nu devient grande (rayons X, γ\gamma), l’approximation d’un champ électromagnétique continu macroscopique s’effondre au profit d’une description corpusculaire (photons).
    2. À champ intense : Le modèle linéaire des milieux (permittivité ε0\varepsilon_0 et perméabilité μ0\mu_0 constantes) n’est plus valide pour des champs extrêmement intenses (issus de lasers femtosecondes par exemple), où l’on observe des phénomènes d’optique non linéaire (variation de l’indice avec l’intensité, génération d’harmoniques).