Exercice 1 : Fonction d onde et équation de Schrödinger

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

On s’intéresse à la modélisation quantique d’un électron de masse $m$ et de charge $-e$ ($e > 0$), contraint de se déplacer sur l’axe $(Ox)$. Dans tout le problème, la dynamique de cet électron est décrite par une fonction d’onde $\psi(x,t)$, solution de l’équation de Schrödinger unidimensionnelle :

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)\psi(x,t) = i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}$

où $V(x)$ représente l’énergie potentielle à laquelle est soumis l’électron.

L’objectif de ce problème est d’étudier les états stationnaires de ce système dans le cas particulier d’un puits de potentiel infini, puis d’analyser l’évolution temporelle d’une superposition de ces états.

Données et constantes utiles : $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ (constante de Planck réduite), masse de l’électron $m \approx 9,11 \times 10^{-31} \text{ kg}$.

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❓ Questions progressives

1. Rappel et conditions aux limites : Rappeler la condition de normalisation de la fonction d’onde $\psi(x,t)$. Qu’exprime physiquement la quantité $|\psi(x,t)|^2$ ?
2. États stationnaires : Définir la forme générale d’un état stationnaire $\psi(x,t) = \varphi(x)\phi(t)$ associé à une énergie $E$. Montrer que la fonction d’onde spatiale $\varphi(x)$ vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre que l’on précisera.
3. Modélisation du puits de potentiel : On considère le puits de potentiel infini défini par : $V(x) = 0 \text{ pour } x \in ]0, L[$ $V(x) = +\infty \text{ pour } x \le 0 \text{ ou } x \ge L$ Justifier physiquement que $\varphi(0) = 0$ et $\varphi(L) = 0$.
4. Résolution et quantification : Résoudre l’équation différentielle pour $x \in ]0, L[$. En déduire l’existence d’une quantification de l’énergie, notée $E_n$, et donner l’expression des fonctions d’onde normalisées $\varphi_n(x)$ associées.
5. Superposition d’états : À l’instant $t = 0$, la fonction d’onde du système est un mélange des deux premiers états stationnaires : $\psi(x, 0) = A \left[ \varphi_1(x) + 2\varphi_2(x) \right]$ Déterminer la constante $A$ (réelle positive) assurant la normalisation de $\psi(x,0)$.
6. Évolution temporelle et valeur moyenne : Écrire la fonction d’onde $\psi(x,t)$ pour $t > 0$. Calculer la valeur moyenne de l’énergie mesurée dans cet état à un instant $t$ quelconque. Le résultat dépend-il du temps ? Conclure.

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💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Q1 & Q2 : Pensez à l’analogie avec les ondes classiques et à l’interprétation probabiliste de Born. Pour les états stationnaires, la séparation des variables est la méthode standard.
• Q3 : La fonction d’onde doit rester continue partout, y compris là où le potentiel est infini (où la probabilité de présence doit s’annuler strictement).
• Q4 : Posez $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$. Attention à bien éliminer les solutions triviales en exploitant les conditions aux limites.
• Q5 : Utilisez l’orthonormalisation des fonctions propres de l’énergie pour calculer l’intégrale de normalisation sans effort.
• Q6 : L’opérateur hamiltonien $\hat{H}$ est indépendant du temps pour ce système. Pensez au théorème d’Ehrenfest ou à la décomposition sur la base des états propres.

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📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Normalisation et interprétation physique

La condition de normalisation de la fonction d’onde s’écrit : $\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2 \, \text{dx} = 1$ Physiquement, selon l’interprétation probabiliste de Max Born, la quantité $|\psi(x,t)|^2$ représente la densité de probabilité de présence de l’électron au point $x$ à l’instant $t$.

2. Séparation des variables et équation stationnaire

Recherchons une solution sous la forme $\psi(x,t) = \varphi(x)\phi(t)$. En injectant cette forme dans l’équation de Schrödinger : $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2} \phi(t) + V(x)\varphi(x)\phi(t) = i\hbar \varphi(x) \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$ En divisant par $\psi(x,t) = \varphi(x)\phi(t)$, il vient : $\frac{1}{\varphi(x)} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2} + V(x)\varphi(x) \right] = \frac{i\hbar}{\phi(t)} \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$ Le membre de gauche ne dépend que de $x$ et celui de droite que de $t$. Cette égalité n’est possible pour tout $x$ et tout $t$ que si les deux membres sont égaux à une même constante, notée $E$ (qui a la dimension d’une énergie). On en déduit l’équation d’évolution pour $\phi(t)$ : $\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{iE}{\hbar} \phi(t) \implies \phi(t) = e^{-i\frac{E}{\hbar}t}$ Et pour la partie spatiale, l’équation de Schrödinger indépendante du temps : $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2} + V(x)\varphi(x) = E\varphi(x)$

3. Conditions aux limites

À l’extérieur du puits ($x \le 0$ et $x \ge L$), le potentiel $V(x) = +\infty$. Pour que l’énergie moyenne du système reste finie, la fonction d’onde $\varphi(x)$ doit nécessairement s’annuler strictement dans ces zones. Par ailleurs, la fonction d’onde $\varphi(x)$ doit être continue sur tout l’axe $(Ox)$. Par conséquent, aux frontières du puits, on doit avoir : $\varphi(0) = 0 \quad \text{et} \quad \varphi(L) = 0$

4. Résolution et quantification de l’énergie

À l’intérieur du puits ($x \in ]0, L[$), le potentiel est nul ($V(x) = 0$). L’équation stationnaire se réécrit : $\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2} + k^2 \varphi(x) = 0 \quad \text{avec} \quad k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$ La solution générale est de la forme : $\varphi(x) = A' \cos(kx) + B' \sin(kx)$

• Application de la condition en $x = 0$ : $\varphi(0) = A' = 0$.
• Application de la condition en $x = L$ : $\varphi(L) = B' \sin(kL) = 0$.

Pour obtenir une solution non triviale ($B' \neq 0$), il faut que : $kL = n\pi \quad (n \in \mathbb{N}^{*})$ On en déduit la quantification du nombre d’onde $k_n = \frac{n\pi}{L}$, ce qui implique la quantification de l’énergie : $E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$

Déterminons la constante de normalisation $B'$ pour chaque état $\varphi_n(x) = B' \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ : $\int_0^L |\varphi_n(x)|^2 \, \text{dx} = |B'|^2 \int_0^L \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \text{dx} = |B'|^2 \frac{L}{2} = 1 \implies B' = \sqrt{\frac{2}{L}}$ Les fonctions d’onde propres normalisées sont donc : $\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

5. Normalisation de la superposition d’états

La fonction d’onde initiale est $\psi(x,0) = A \left[ \varphi_1(x) + 2\varphi_2(x) \right]$. Exprimons la condition de normalisation à $t = 0$ en utilisant l’orthonormalisation de la famille $(\varphi_n)$ : $\int_0^L |\psi(x,0)|^2 \, \text{dx} = |A|^2 \int_0^L \left[ \varphi_1(x) + 2\varphi_2(x) \right]^2 \text{dx} = 1$ En développant et en tenant compte du fait que $\int \varphi_i \varphi_j \, \text{dx} = \delta_{ij}$ : $\int_0^L \left( \varphi_1^2 + 4\varphi_2^2 + 4\varphi_1\varphi_2 \right) \text{dx} = \int_0^L \varphi_1^2 \text{dx} + 4\int_0^L \varphi_2^2 \text{dx} + 0 = 1 + 4 = 5$ Ainsi : $|A|^2 \times 5 = 1 \implies A = \frac{1}{\sqrt{5}}$ (en choisissant $A$ réel positif).

6. Évolution temporelle et valeur moyenne de l’énergie

Chaque composante stationnaire évolue avec son propre facteur phase $\phi_n(t) = e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}$. Par superposition linéaire (principe de superposition), la fonction d’onde à l’instant $t$ est : $\psi(x,t) = \frac{1}{\msqrt{5}} \left[ \varphi_1(x) e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t} + 2\varphi_2(x) e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t} \right]$

La valeur moyenne de l’énergie $\langle E \rangle$ dans cet état s’obtient par la formule générale : $\langle E \rangle = \int_0^L \psi^*(x,t) \hat{H} \psi(x,t) \, \text{dx}$ Puisque $\hat{H}\varphi_n(x) = E_n\varphi_n(x)$, on a directement : $\langle E \rangle = |c_1|^2 E_1 + |c_2|^2 E_2$ où $c_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ et $c_2 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ sont les coefficients de la superposition normalisée. $\langle E \rangle = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 E_1 + \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 E_2 = \frac{1}{5}E_1 + \frac{4}{5}E_2 = \frac{1}{5}E_1 + \frac{4}{5}(4E_1) = \frac{17}{5}E_1$

• Dépendance temporelle : Le calcul ci-dessus montre que les termes temporels de type $e^{\pm i \omega t}$ se simplifient lors du calcul de la norme au carré des coefficients $|c_n|^2$. Par conséquent, la valeur moyenne de l’énergie ne dépend pas du temps ($\langle E \5angle = \text{constante}$). C’est une illustration directe de la conservation de l’énergie pour un système conservatif isolé.