Cours : Cinématique du solide rigide

Fiche de Cours : Cinématique du Solide Rigide

Filière : PTSI — Matière : Sciences Industrielles de l’Ingénieur (SII)
Niveau: ** Première année

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1. Introduction et Définitions Fondamentales

1.1. Notion de solide rigide

Un solide $S$ est dit indéformable (ou rigide) si la distance entre deux points quelconques $P$ et $Q$ appartenant à ce solide reste constante au cours du temps : $\forall (P, Q) \in S^2, \quad \frac{d}{dt} \| \overrightarrow{PQ} \| = 0$

1.2. Représentation d’un mouvement

• Référentiel galiléen ou repère lié : On associe à chaque solide $S_i$ un repère orthonormé direct $\mathcal{R}_i (O_i, \vec{x}_i, \vec{y}_i, \vec{z}_i)$.
• Mouvement de $S_1$ par rapport à $S_0$ (noté $\mathcal{M}(S_1/S_0)$) : C’est l’ensemble des positions occupées par le solide $S_1$ au cours du temps dans le repère $\mathcal{R}_0$ lié à $S_0$.

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2. Champ des Vecteurs Vitesse dans un Solide

2.1. Vecteur taux de rotation (ou vecteur vitesse de rotation)

Théorème (Fondamental) : Soit un solide $S_1$ en mouvement par rapport à $S_0$. Il existe un unique vecteur, noté $\vec{\Omega}(S_1/S_0)$, appelé vecteur taux de rotation du solide $S_1$ par rapport à $S_0$, tel que pour tout couple de points $A$ et $B$ appartenant au solide $S_1$, la relation de transport des vitesses s’écrit :

$\vec{V}(B \in S_1/S_0) = \vec{V}(A \in S_1/S_0) + \vec{\Omega}(S_1/S_0) \wedge \overrightarrow{AB}$

Attention (Piège classique) : Ce champ de vitesse est équiprojective. Pour tout $A$ et $B$ du solide : $\vec{V}(A \in S_1/S_0) \cdot \overrightarrow{AB} = \vec{V}(B \in S_1/S_0) \cdot \overrightarrow{AB}$

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3. Cinématique du Point et Dérivation Vectorielle

3.1. Composition des mouvements

Soient trois solides (ou repères) $S_1$, $S_2$ et $S_3$.

• Addition des vitesses de rotation : $\vec{\Omega}(S_3/S_1) = \vec{\Omega}(S_3/S_2) + \vec{\Omega}(S_2/S_1)$

• Composition des vitesses d’un point $M$ : $\vec{V}(M \in S_3/S_1) = \vec{V}(M \in S_3/S_2) + \vec{V}(M \in S_2/S_1)$

  • $\vec{V}(M \in S_3/S_1)$ : Vitesse absolue.
  • $\vec{V}(M \in S_3/S_2)$ : Vitesse relative.
  • $\vec{V}(M \in S_2/S_1)$ : Vitesse d’entraînement.

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4. Torseurs Cinématiques

4.1. Définition du torseur cinématique

L’ensemble des champs de vitesses d’un solide indéformable $S_1$ par rapport à un repère $S_0$ a une structure de torseur. On le note $\left\{ \mathcal{V}(S_1/S_0) \right\}$.

En un point $P$, il se représente par : $\left\{ \mathcal{V}(S_1/S_0) \right\}_P = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}(S_1/S_0) \\ \vec{V}(P \in S_1/S_0) \end{Bmatrix}_P$

• Résultante : Le vecteur taux de rotation $\vec{\Omega}(S_1/S_0)$.
• Moment : Le vecteur vitesse $\vec{V}(P \in S_1/S_0)$.

4.2. Propriété de transport des moments

Pour deux points $A$ et $B$ du solide $S_1$ : $\vec{V}(B \in S_1/S_0) = \vec{V}(A \in S_1/S_0) + \overrightarrow{BA} \wedge \vec{\Omega}(S_1/S_0)$

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5. Étude des Mouvements Particuliers (Programme PTSI)

5.1. Mouvement de translation

Un solide $S_1$ est en translation par rapport à $S_0$ si tout segment tracée sur $S_1$ garde une direction constante dans $S_0$.

• Caractérisation : $\vec{\Omega}(S_1/S_0) = \vec{0}$
• Conséquence : Le champ des vitesses est uniforme : $\forall (A,B) \in S_1^2, \quad \vec{V}(A \in S_1/S_0) = \vec{V}(B \in S_1/S_0)$

5.2. Mouvement de rotation autour d’un axe fixe ($\Delta$)

Un solide $S_1$ est en rotation autour d’un axe fixe $(\Delta)$ lié à $S_0$ si tous les points du solide décrivent des cercles centrés sur $(\Delta)$, hormis les points de $(\Delta)$ qui sont immobiles.

• Caractérisation : Soit $\vec{u}$ le vecteur directeur unitaire de l’axe $(\Delta)$ : $\vec{\Omega}(S_1/S_0) = \dot{\theta}(t) \vec{u}$ (où $\theta$ est l’angle de rotation en \text{rad}).
• Vitesse d’un point $M$ de distance $r$ à l’axe : $\| \vec{V}(M \in S_1/S_0) \| = r \cdot \dot{\theta}$

5.3. Mouvement plan sur plan (ou plan)

Un mouvement est dit plan si tous les points de $S_1$ décrivent des trajectoires contenues dans des plans parallèles à un même plan fixe de $\mathcal{R}_0$, et si $\vec{\Omega}(S_1/S_0)$ est orthogonal à ce plan.

• Caractérisation : $\vec{\Omega}(S_1/S_0) = \dot{\theta}(t) \vec{z}_0$ et pour tout point $M$ du plan du mouvement, $\vec{V}(M \in S_1/S_0) \cdot \vec{z}_0 = 0$.

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6. Outils et Méthodes pour les Concipes

6.1. Recherche du Centre Instantané de Rotation (CIR)

Dans un mouvement plan sur plan, à tout instant $t$, il existe un point $I$ du plan (ou du solide prolongé) dont la vitesse est nulle : $\vec{V}(I \in S_1/S_0) = \vec{0}$. $I$ est appelé Centre Instantané de Rotation (CIR).

• Méthodes de détermination géométrique du CIR ($I$) :
  1. Connaissance de deux vecteurs vitesses non colinéaires : $I$ est à l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs vitesses passant par leurs points d’application respectifs.
  2. Trajectoire connue d’un point : Le CIR se trouve sur la droite perpendiculaire à la trajectoire (donc portée par la normale) passant par ce point.
  3. Roulement sans glissement (R.S.G.) : Le point de contact $C$ entre deux solides en contact ponctuel est nécessairement le CIR du mouvement relatif du solide 1 par rapport au solide 2 : $\vec{V}(C \in S_1/S_2) = \vec{0}$.

Piège à éviter : Le CIR est instantané. Il change de position au cours du temps, tant dans le repère fixe (base) que dans le repère mobile (roulante). Ne l’utilisez pas pour intégrer des positions sur une durée finie !

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7. Synthèse des Liaisons Usuelles et de leurs Torseurs Cinématiques

Rappel: Base locale $( \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} )$ au point $A$ centre de la liaison.*

Liaison	$\vec{\Omega}(1/0)$ (Rotations permises)	$\vec{V}(A \in 1/0)$ (Translations permises)
Pivot (axe $\vec{x}$)	$\dot{\theta} \vec{x}$	$\vec{0}$
Glissière (axe $\vec{x}$)	$\vec{0}$	$\dot{x} \vec{x}$
Pivot glissant (axe $\vec{x}$)	$\dot{\theta} \vec{x}$	$\dot{x} \vec{x}$
Rotule (Centre $A$)	$\omega_x \vec{x} + \omega_y \vec{y} + \omega_z \vec{z}$	$\vec{0}$
Appui plan (normale $\vec{z}$)	$\omega_x \vec{x} + \omega_y \vec{y}$	$v_x \vec{x} + v_y \vec{y}$