Exercice 1 : Instruments d optique

Problème guidé : Étude d’un dispositif optique combiné (Lunette afocale et système dispersif)

Ce problème aborde l’étude classique d’un instrument d’optique (la lunette astronomique) associée à un système dispersif. Ce type de sujet exige une rigueur absolue dans l’application des formules de conjugaison, le respect des conditions de Gauss et une analyse critique des ordres de grandeur.

I. Étude d’une lunette astronomique afocale

On considère un modèle simplifié de lunette astronomique constitué de deux lentilles minces convergentes :

L’objectif, de centre optique $O_1$ et de distance focale fémorale $f'_1 = O_1F'_1 = +50\text{ cm}$ .
L’oculaire, de centre optique $O_2$ et de distance focale fémorale $f'_2 = O_2F'_2 = +5\text{ cm}$ .

L’axe optique commun est orienté dans le sens de la propagation de la lumière. Le système est dit afocal.

Question 1

Définir la condition pour qu’un système centré constitué de deux lentilles soit afocal. Quelle est la position de l’image intermédiaire $A_1B_1$ d’un objet $AB$ situé à l’infini ? En déduire la position du foyer image de l’association.

Éléments de correction : Un système centré est afocal si son foyer image est rejeté à l’infini (tout comme son foyer objet). Un faisceau de rayons parallèles incident ressort du système sous forme d’un faisceau de rayons parallèles.

Pour un objet $AB$ situé à l’infini ( $\alpha$ étant l’angle sous lequel il est vu depuis l’entrée), les rayons incidents sont parallèles et inclinés d’un angle $\alpha$ par rapport à l’axe optique.

L’objectif $L_1$ donne de cet objet une image intermédiaire réelle $A_1B_1$ située dans son plan focal image. On a donc : $\overline{O_1F'_1} = f'_1 = +50\text{ cm}$
Pour que le système soit afocal, il faut que cette image intermédiaire $A_1B_1$ se situe dans le plan focal objet de l’oculaire $L_2$ . La distance entre les deux lentilles (l’intervalle optique) est donc : $\Delta = O_1O_2 = f'_1 + f'_2 = 50 + 5 = 55\text{ cm}$ Le foyer objet de $L_2$ confondu avec $F'_1$ permet d’obtenir une image définitive $A'B'$ rejetée à l’infini.

Question 2

Exprimer le grandissement transversal $y_t$ du système global, puis le grossissement $G$ de la lunette en fonction des distances focales $f'_1$ et $f'_2$ . Calculer la valeur numérique de $G$ .

Éléments de correction :

Le grandissement transversal $y_t$ relie la taille de l’image définitive à celle de l’objet initial. L’objet étant à l’infini, la notion de grandissement transversal n’est pas directement pertinente (l’image l’est aussi). On définit plutôt le grossissement $G$ , qui est le rapport entre le diamètre apparent de l’image vue à travers l’instrument ( $\alpha'$ ) et le diamètre apparent de l’objet vu à l’œil nu sans instrument ( $\alpha$ ) : $G = \frac{\alpha'}{\alpha}$
En effectuant un calcul trigonométrique dans les triangles formés par l’image intermédiaire $A_1B_1$ de hauteur $h = \overline{A_1B_1}$ : $\alpha \simeq \tan \alpha = \frac{-h}{f'_1} \quad \text{et} \quad \alpha' \simeq \tan \alpha' = \frac{h}{f'_2}$ On en déduit l’expression du grossissement : $G = \frac{-\frac{h}{f'_2}}{\frac{h}{f'_1}} = -\frac{f'_1}{f'_2}$
Application numérique : $G = -\frac{50}{5} = -10$ Le signe négatif indique que l’image définitive est renversée par rapport à l’objet. Le module du grossissement est de $10$ .

II. Introduction d’un système dispersif (Prisme)

On intercale entre l’objectif et l’oculaire un prisme en verre d’indice $n$ et d’angle au sommet $A$ . Le prisme est réglé au minimum de déviation pour une longueur d’onde $\lambda_0 = 589\text{ nm}$ (jaune du sodium).

Question 3

Rappeler la condition d’émergence d’un rayon lumineux à travers un prisme. Quel est l’effet de ce prisme sur un faisceau de lumière blanche issu de l’objectif ?

Éléments de correction :

Pour qu’il y a ait émergence du rayon hors du prisme, il faut que l’angle d’incidence $i_2$ sur la seconde dioptre soit inférieur à l’angle limite de réfraction $i_{lim} = \arcsin(1/n)$ . Cela se traduit par une condition sur l’angle du prisme : $A \le 2 i_{lim}$
Le verre étant un milieu dispersif, l’indice de réfraction $n(\lambda)$ dépend de la longueur d’onde ( $\frac{dn}{d\lambda} < 0$ ). La déviation $\mathcal{D}$ subie par un rayon lumineux dépend de $n$ selon la formule : $\mathcal{D} = i_1 + i'_2 - A$ Le prisme va donc décomposer la lumière blanche en un spectre continu de couleurs, chaque longueur d’onde étant déviée d’un angle légèrement différent.

III. Analyse critique des résultats

Question 4

Dans le cadre de l’utilisation de cette lunette en astronomie d’observation (par exemple l’observation des cratères lunaires), discutez l’intérêt et les limites d’un tel système afocal combiné à un élément dispersif.

Éléments de correction :

Intérêt : Le grossissement $G = -10$ permet de discerner des détails angulaires 10 fois plus petits qu’à l’œil nu (en restant toutefois limité par la diffraction due à l’ouverture de l’objectif). L’ajout d’un prisme (ou d’un réseau) transforme la lunette en une lunette spectroscopique, permettant l’analyse spectrale de la lumière émise ou réfléchie par les astres (détermination de la composition chimique).
Limites et défauts optiques :
1. Chromatisme : Les lentilles simples souffrent d’aberration chromatique (les foyers dépendent de $\lambda$ ). L’utilisation d’un prisme accentue ce problème si les lentilles ne sont pas des doublets achromatiques.
2. Luminosité : L’interposition d’un prisme entraîne des pertes par réflexion sur les dioptres et par absorption dans le verre, réduisant la luminosité de l’image finale.
3. Renversement de l’image : L’image est inversée ( $G < 0$ ), ce qui est gênant en observation terrestre, mais sans conséquence majeure en astronomie (l’espace n’ayant ni haut ni bas).