Cours : Séries entières et séries de Fourier

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

A. Séries entières

Une série entiere d’une variable $\mathbb{K}$-1-variable est une série de fonctions de la forme : $\sum_{n \ge 0} a_n z^n$ où $(a_n)_{n \ge 0}$ est une suite d’éléments de $\mathbb{K}$ (les coefficients) et $z \in \mathbb{K}$.

• Disque ou intervalle de convergence : Il existe un unique $R \in [0, +\infty]$, appelé rayon de convergence de la série entière, tel que :
  1. Si $|z| < R$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.
  2. Si $|z| > R$, la série diverge grossièrement (le terme général ne tend pas vers $0$).
• Lemme d’Abel : Si la suite $(a_n z_0^n)_{n \ge 0}$ est bornée pour un certain $z_0 \in \mathbb{K} \setminus \{0\}$, alors pour tout $z \in \mathbb{K}$ tel que $|z| < |z_0|$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.
• Formules de calcul du rayon de convergence :
  • Règle de d’Alembert (si $\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ existe) : $\frac{1}{R} = \lim_{n \to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
  • Formule de Cauchy-Hadamard : $\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}$.

B. Séries de Fourier

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction continue par morceaux et $T$-périodique (avec $T > 0$, souvent $T = 2\pi$ par normalisation via $\omega = \frac{2\pi}{T}$).

• Produit hermitien sur $C_{pm}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ : Pour $f, g$ continues par morceaux et $T$-périodiques, $\langle f, g \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) \overline{g(t)} \, \text{d}t$
• Coefficients de Fourier :
  • Exponentiels : $\, c_n(f) = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega t} \, \text{d}t \quad (n \in \mathbb{Z})$.
  • Trigonométriques (pour $f$ à valeurs réelles) : $a_n(f) = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos(n \omega t) \, \text{d}t \quad (n \in \mathbb{N})$ $b_n(f) = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin(n \omega t) \, \text{d}t \quad (n \in \mathbb{N}^*)$
• Sommes partielles de Fourier : $S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{i n \omega t} = a_0(f) + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n(f)\cos(n \omega t) + b_n(f)\sin(n \omega t) \right)$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

A. Théorème d’Abel et Propriétés de Somme (Séries entières)

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$. Soit $S(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ pour $|z| < R$.

1. Continuité : La somme $S$ est de classe $C^\infty$ sur le disque ouvert $D(0, R)$ (ou intervalle ouvert $]-R, R[$ si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$). Ses dérivées s’obtiennent par dérivation terme à terme : $\forall z \in ]-R, R[, \quad S'(z) = \sum_{n=1}^{n} n a_n z^{n-1}$ Le rayon de convergence de la série dérivée est également $R$.
2. Théorème d’Abel angulaire : Si la série numérique $\sum a_n R^n$ converge (avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$), alors la fonction $x \mapsto S(x)$ admet une limite finie en $R^-$ et : $\lim_{x \to R^-} S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n R^n$

B. Théorème de Dirichlet (Convergence simple des séries de Fourier)

Théorème : Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction $T$-périodique, continue par morceaux et de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$. Alors, pour tout $t \in \mathbb{R}$, la série de Fourier de $f$ converge et : $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f) e^{i n \omega t} = \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ En tout point de continuité de $f$, la série converge simplement vers $f(t)$.

C. Théorème de Parseval

Théorème : Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ est continue par morceaux et $T$-périodique, alors la suite des coefficients de Fourier est de carré sommable, et on a l’égalité énergétique : $\frac{1}{T} \int_0^T |f(t)|^2 \, \text{d}t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2$ Ou en version trigonométrique : $\frac{1}{T} \int_0^T |f(t)|^2 \, \text{d}t = \frac{a_0(f)^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n(f)^2 + b_n(f)^2}{2}$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

A. Manipulation des séries entières usuelles

Il est impératif de connaître par cœur les développements en série entière (DSE) sur leur intervalle de convergence ouvert :

• $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n \quad (\text{pour } |x| < 1)$
• $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \quad (\text{pour } |x| < 1)$
• $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \quad (\text{pour } |x| < 1)$
• $\arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \quad (\text{pour } |x| \le 1$)
• $e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (\text{pour } x \in \mathbb{R})$
• $\operatorname{ch}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad \operatorname{sh}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (\text{pour } x \in \mathbb{R})$

B. Technique d’identification et de résolution d’équations différentielles

Pour calculer la somme d’une série entière $\sum a_n z^n$ ou déterminer une suite définie par récurrence :

1. Étape 1 : Déterminer le rayon de convergence $R$.
2. Étape 2 : Poser $S(x) = \sum a_n x^n$ et dériver $S$ (ou $x S(x)$, etc.) pour faire apparaître la relation de récurrence sur les coefficients $a_n$.
3. Étape 3 : Résoudre l’équation différentielle linéaire vérifiée par $S$ sur $]-R, R[$.
4. Étape 4 : Utiliser les conditions initiales ($S(0) = a_0$, $S'(0) = a_1$) pour déterminer la constante d’intégration.

C. Calcul effectif des coefficients de Fourier

• Exploiter les parités :
  • Si $f$ est paire, $b_n(f) = 0$ et $a_n(f) = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} f(t)\cos(n\omega t)\,\text{d}t$.
  • Si $f$ est impaire, $a_n(f) = 0$ et $b_n(f) = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} f(t)\sin(n\omega t)\,\text{d}t$.
• Utiliser les intégrations par parties successives lorsque $f$ est de classe $C^k$ pour obtenir la décroissance rapide des coefficients $c_n(f) = O\left(\frac{1}{n^k}\right)$.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Confusion entre convergence simple, normale et uniforme : Une série entière converge normalement sur tout disque (ou intervalle) fermé compact inclus dans le disque ouvert de convergence, mais jamais sur le disque ouvert tout entier en général si $R < +\infty$.
2. Oubli de la borne du rayon de convergence : Ne jamais appliquer le théorème de dérivation terme à terme ou d’intégration sur des intervalles hors du rayon de convergence.
3. Mauvaise application de Dirichlet aux points de discontinuité : En un point de saut $t_0$, la série de Fourier ne converge pas vers $f(t_0)$, mais vers la moyenne $\frac{f(t_0^+) + f(t_0^-)}{2}$.
4. Erreurs d’indices dans Parseval : Ne pas oublier les facteurs $\frac{1}{2}$ pour $a_0^2$ et $\frac{a_n^2 + b_n^2}{2}$ dans la version trigonométrique réelle.
5. Perte de validité aux bornes du domaine : L’utilisation du théorème d’Abel est impérative pour relier la valeur de la somme au bord de l’intervalle de convergence (ex: $x = 1$) avec la série numérique évaluée en ce point.