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CPGE Futur

Exercice : Quantification de l énergie et mesure quantique

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

On s’intéresse dans ce problème à un système quantique bidimensionnel (à deux niveaux d’énergie), modélisant par exemple un spin 1/21/2 dans un champ magnétique ou un qbit supraconducteur. L’espace des états du système est un espace de Hilbert E\mathcal{E} isomorphe à C2\mathbb{C}^2.

Soit (∣0⟩,∣1⟩)(|0\rangle, |1\rangle) une base orthonormée de E\mathcal{E}, constituée des états propres d’un observable d’énergie (Hamiltonien noté H^\hat{H}) du système, associés respectivement aux énergies E0E_0 et E1E_1, avec E1>E0E_1 > E_0. On pose ω0=E1−E0ℏ\omega_0 = \frac{E_1 - E_0}{\hbar}.

Dans cette base, un état quelconque ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle du système est représenté par un vecteur colonne et les observables par des matrices 2×22 \times 2. On rappelle la valeur des matrices de Pauli : σx=(0110),σy=(0−ii0),σz=(100−1)\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Évolution temporelle et opérateur Hamiltonien

    1. Exprimer l’opérateur Hamiltonien H^\hat{H} du système dans la base (∣0⟩,∣1⟩)(|0\rangle, |1\rangle), en choisissant par exemple l’origine des énergies de sorte que E0=−ℏω02E_0 = -\frac{\hbar \omega_0}{2} et E1=ℏω02E_1 = \frac{\hbar \omega_0}{2}.
    2. Écrire l’équation de Schrödinger régissant l’évolution temporelle d’un état ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle.
    3. Sachant que le système est préparé à l’instant t=0t = 0 dans l’état ∣ψ(0)⟩=12(∣0⟩+∣1⟩)|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle), déterminer l’état ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle à un instant t>0t > 0.

  2. Mesure quantique et probabilités

    1. On mesure l’énergie du système à l’instant tt. Quelles sont les valeurs possibles que l’on peut trouver, et avec quelles probabilités respectives ?
    2. À l’instant tt, on décide plutôt de mesurer l’observable A^=A0σx\hat{A} = A_0 \sigma_x (où A0A_0 est une constante réelle positive). Exprimons les valeurs propres de A^\hat{A} et les états propres associés dans la base (∣0⟩,∣1⟩)(|0\rangle, |1\rangle).
    3. Calculer la probabilité d’obtenir la valeur propre positive lors de cette mesure de A^\hat{A} à l’instant tt. Commenter l’évolution temporelle de cette probabilité.

  3. Valeur moyenne et incertitude

    1. Calculer la valeur moyenne ⟨A^⟩(t)\langle \hat{A} \rangle(t) de l’observable A^\hat{A} dans l’état ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle.
    2. Calculer l’écart-type ΔA(t)\Delta A(t) (ou incertitude quantique) associé à la mesure de A^\hat{A} à l’instant tt.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Q1.1 & Q1.2 : L’écriture matricielle de H^\hat{H} découle directement de son action sur les vecteurs de base. Pensez à l’analogie avec les matrices de Pauli. Pour l’équation de Schrödinger, c’est le postulat fondamental d’évolution : iℏ∂∂t∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle.
  • Q1.3 : Utilisez l’opérateur d’évolution temporelle formel ou résolvez l’équation différentielle pour les coefficients de la décomposition dans la base propre.
  • Q2.1 : Les valeurs mesurables d’une observable sont ses valeurs propres. Les probabilités se calculent via la règle de Born (carré du module du produit scalaire avec le vecteur propre associé).
  • Q2.2 & Q2.3 : Diagonalisez la matrice σx\sigma_x (ses valeurs propres sont bien connues). Appliquez ensuite la règle de projection de la mesure quantique.
  • Q3 : La valeur moyenne d’un opérateur A^\hat{A} dans l’état ∣ψ⟩|\psi\rangle est ⟨A^⟩=⟨ψ∣A^∣ψ⟩\langle \hat{A} \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle. L’écart-type se déduit de la formule ΔA=⟨A^2⟩−⟨A^⟩2\Delta A = \sqrt{\langle \hat{A}^2 \rangle - \langle \hat{A} \rangle^2}.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Évolution temporelle et opérateur Hamiltonien

Section titled “1. Évolution temporelle et opérateur Hamiltonien”

  1. Matrice de l’Hamiltonien : Avec le choix d’origine des énergies, on a E0=−ℏω02E_0 = -\frac{\hbar \omega_0}{2} et E1=ℏω02E_1 = \frac{\hbar \omega_0}{2}. L’action de H^\hat{H} sur les vecteurs de base est H^∣0⟩=E0∣0⟩\hat{H}|0\rangle = E_0|0\rangle et H^∣1⟩=E1∣1⟩\hat{H}|1\rangle = E_1|1\rangle. Dans la base (∣0⟩,∣1⟩)(|0\rangle, |1\rangle), l’opérateur H^\hat{H} se représente par la matrice : H=(−ℏω0200ℏω02)=−ℏω02σzH = \begin{pmatrix} -\frac{\hbar \omega_0}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\hbar \omega_0}{2} \end{pmatrix} = -\frac{\hbar \omega_0}{2} \sigma_z

  2. Équation de Schrödinger : Le postulat d’évolution temporelle s’écrit : iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩i\hbar \frac{d}{dt} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle

  3. État du système à l’instant tt : Soit ∣ψ(t)⟩=c0(t)∣0⟩+c1(t)∣1⟩|\psi(t)\rangle = c_0(t)|0\rangle + c_1(t)|1\rangle. En projetant l’équation de Schrödinger sur les états de base, on obtient un système couplé simple : iℏc˙0(t)=−ℏω02c0(t)  ⟹  c0(t)=c0(0)eiω0t2i\hbar \dot{c}_0(t) = -\frac{\hbar \omega_0}{2} c_0(t) \implies c_0(t) = c_0(0)e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} iℏc˙1(t)=ℏω02c1(t)  ⟹  c1(t)=c1(0)e−iω0t2i\hbar \dot{c}_1(t) = \frac{\hbar \omega_0}{2} c_1(t) \implies c_1(t) = c_1(0)e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} Avec la condition initiale c0(0)=c1(0)=12c_0(0) = c_1(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}, on obtient l’état normalisé à tout instant tt : ∣ψ(t)⟩=12eiω0t2∣0⟩+12e−iω0t2∣1⟩|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} |0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} |1\rangle

2. Mesure quantique et probabilités

Section titled “2. Mesure quantique et probabilités”

  1. Mesure de l’énergie : Les seules valeurs mesurables de l’énergie sont les valeurs propres de H^\hat{H}, soit E0=−ℏω02E_0 = -\frac{\hbar \omega_0}{2} et E1=ℏω02E_1 = \frac{\hbar \omega_0}{2}.

    • Probabilité de trouver E0E_0 : P(E0)=∣⟨0∣ψ(t)⟩∣2=∣12eiω0t2∣2=12P(E_0) = |\langle 0|\psi(t)\rangle|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\frac{\omega_0 t}{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}.
    • Probabilité de trouver E1E_1 : P(E1)=∣⟨1∣ψ(t)⟩∣2=∣12e−iω0t2∣2=12P(E_1) = |\langle 1|\psi(t)\rangle|^2 = \left|\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}. (Remarque : l’état stationnaire ou superposé ici conduit à des probabilités stationnaires pour l’énergie).

  2. Valeurs propres et états propres de A^=A0σx\hat{A} = A_0 \sigma_x : La matrice de A^\hat{A} est A=(0A0A00)A = \begin{pmatrix} 0 & A_0 \\ A_0 & 0 \end{pmatrix}. Son polynôme caractéristique est det⁡(A−λI)=λ2−A02=0\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - A_0^2 = 0. Les valeurs propres sont donc λ1=A0\lambda_1 = A_0 et λ2=−A0\lambda_2 = -A_0.

    • Pour λ1=A0\lambda_1 = A_0, le vecteur propre associé (normalisé) est ∣+⟩=12(∣0⟩+∣1⟩)|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle).
    • Pour λ2=−A0\lambda_2 = -A_0, le vecteur propre associé est ∣−⟩=12(∣0⟩−∣1⟩)|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle).

  3. Probabilité d’obtenir la valeur propre positive (A0A_0) : La valeur propre positive est A0A_0, associée à l’état ∣+⟩|+\rangle. La probabilité recherchée est donnée par la règle de Born : P(A0,t)=∣⟨+∣ψ(t)⟩∣2P(A_0, t) = |\langle +|\psi(t)\rangle|^2 Calculons le produit scalaire ⟨+∣ψ(t)⟩\langle +|\psi(t)\rangle : ⟨+∣ψ(t)⟩=12(⟨0∣+⟨1∣)(12eiω0t2∣0⟩+12e−iω0t2∣1⟩)\langle +|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\langle 0| + \langle 1|\right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} |0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} |1\rangle \right) ⟨+∣ψ(t)⟩=12(eiω0t2+e−iω0t2)=cos⁡(ω0t2)\langle +|\psi(t)\rangle = \frac{1}{2} \left( e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} + e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} \right) = \cos\left(\frac{\omega_0 t}{2}\right) Par conséquent, la probabilité est : P(A0,t)=cos⁡2(ω0t2)P(A_0, t) = \cos^2\left(\frac{\omega_0 t}{2}\right) Cette probabilité oscille périodiquement au cours du temps à la pulsation ω0\omega_0, ce qui traduit l’interférence quantique entre les états de base induite par l’évolution hamiltonienne.

3. Valeur moyenne et incertitude

Section titled “3. Valeur moyenne et incertitude”

  1. Valeur moyenne de A^\hat{A} : Par définition, ⟨A^⟩(t)=⟨ψ(t)∣A^∣ψ(t)⟩\langle \hat{A} \rangle(t) = \langle \psi(t) | \hat{A} | \psi(t) \rangle. En représentation matricielle : ∣ψ(t)⟩=^12(eiω0t2e−iω0t2)|\psi(t)\rangle \hat{=} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} \\ e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} \end{pmatrix} ⟨ψ(t)∣A^∣ψ(t)⟩=12(e−iω0t2eiω0t2)(0A0A00)(eiω0t2e−iω0t2)\langle \psi(t) | \hat{A} | \psi(t) \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} & e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & A_0 \\ A_0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} \\ e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} \end{pmatrix} Effectuons le produit matriciel intermédiaire : (0A0A00)(eiω0t2e−iω0t2)=(A0e−iω0t2A0eiω0t2)\begin{pmatrix} 0 & A_0 \\ A_0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} \\ e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_0 e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} \\ A_0 e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} \end{pmatrix} Puis le produit final : ⟨A^⟩(t)=A02(e−iω0t2e−iω0t2+eiω0t2eiω0t2)(attention aux indices de ligne/colonne)\langle \hat{A} \rangle(t) = \frac{A_0}{2} \left( e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} e^{-i\frac{\omega_0 t}{2}} + e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} e^{i\frac{\omega_0 t}{2}} \right) \quad \text{(attention aux indices de ligne/colonne)} Plus simplement, en utilisant les projecteurs ou la formule avec les probabilités discrètes : ⟨A^⟩(t)=A0P(A0,t)+(−A0)P(−A0,t)=A0cos⁡2(ω0t2)−A0sin⁡2(ω0t2)=A0cos⁡(ω0t)\langle \hat{A} \rangle(t) = A_0 P(A_0, t) + (-A_0) P(-A_0, t) = A_0 \cos^2\left(\frac{\omega_0 t}{2}\right) - A_0 \sin^2\left(\frac{\omega_0 t}{2}\right) = A_0 \cos(\omega_0 t)

  2. Écart-type ΔA(t)\Delta A(t) : On utilise la formule classique : (ΔA)2=⟨A^2⟩−⟨A^⟩2(\Delta A)^2 = \langle \hat{A}^2 \rangle - \langle \hat{A} \rangle^2.

    • Calculons A^2\hat{A}^2 : A^2=A02σx2=A02(1001)=A02I^\hat{A}^2 = A_0^2 \sigma_x^2 = A_0^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A_0^2 \hat{I} Par conséquent, la valeur moyenne ⟨A^2⟩=A02⟨ψ(t)∣ψ(t)⟩=A02\langle \hat{A}^2 \rangle = A_0^2 \langle \psi(t)|\psi(t)\rangle = A_0^2 (l’état étant normé).
    • On en déduit l’écart-type : (ΔA(t))2=A02−(A0cos⁡(ω0t))2=A02(1−cos⁡2(ω0t))=A02sin⁡2(ω0t)(\Delta A(t))^2 = A_0^2 - \left(A_0 \cos(\omega_0 t)\right)^2 = A_0^2 \left(1 - \cos^2(\omega_0 t)\right) = A_0^2 \sin^2(\omega_0 t) Soit, en prenant la racine positive : ΔA(t)=A0∣sin⁡(ω0t)∣\Delta A(t) = A_0 |\sin(\omega_0 t)| Interprétation physique : Lorsque le système est dans un état propre de A^\hat{A} (ce qui arrive lorsque cos⁡2(ω0t)=1\cos^2(\omega_0 t) = 1 ou 00), l’incertitude est nulle (ΔA=0\Delta A = 0). Dans les autres cas, le résultat de la mesure est intrinsèquement probabiliste, d’où une incertitude non nulle.