Skip to content
CPGE Futur

Exercice 1 : 1er et 2nd principes

Problème guidé : Étude thermodynamique d’un système ouvert et analyse critique d’un cycle moteur

Section titled “Problème guidé : Étude thermodynamique d’un système ouvert et analyse critique d’un cycle moteur”

Filière : MPSI
Matière : Physique-Chimie
Chapitre: ** Thermodynamique (1er et 2nd principes)

I. Énoncé

Section titled “I. Énoncé”

On s’intéresse au fonctionnement d’un compresseur industriel adiabatique d’air, assimilé à un gaz parfait diatomic (γ=1,4\gamma = 1{,}4, masse molaire M=29 g⋅mol−1M = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, capacité thermique massique à pression constante cp=1,00 kJ⋅kg−1⋅K−1c_p = 1{,}00\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).

L’air entre dans le compresseur (considéré comme un système ouvert en régime permanent) à la température T1=293 KT_1 = 293\text{ K} et à la pression P1=1,0 barP_1 = 1{,}0\text{ bar}. Il est comprimé de manière réversible jusqu’à la pression P2=5,0 barsP_2 = 5{,}0\text{ bars}.

Dans un second temps, le gaz traverse un échangeur thermique isobare où il cède de la chaleur à l’atmosphère extérieure (à la température T0=293 KT_0 = 293\text{ K}) avant d’être utilisé dans une application industrielle.

Données :

Section titled “Données :”
  • Constante des gaz parfaits : R=8,314 J⋅mol−1⋅K−1R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
  • Débit massique d’air : Dm=0,50 kg⋅s−1D_m = 0{,}50\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}

II. Questions

Section titled “II. Questions”
  1. Rappel de cours : Énoncer le premier principe de la thermodynamique appliqué à un système ouvert en régime permanent, en précisant les termes énergétiques mis en jeu. Exprimer le travail massique technique reçu par le fluide.
  2. Compression adiabatique réversible : En déduire l’expression de la température de sortie T2T_2 en fonction de P1P_1, P2P_2, T1T_1 et γ\gamma (loi de Laplace). Calculer T2T_2 en kelvins.
  3. Bilan énergétique : Calculer la puissance thermique P1\mathcal{P}_1 et la puissance mécanique Pmech\mathcal{P}_{mech} reçues par le gaz lors de cette compression. Discuter le signe de Pmech\mathcal{P}_{mech}.
  4. Création d’entropie : Calculer la variation d’entropie de l’air entre l’entrée et la sortie du compresseur. Le résultat était-il prévisible ? Justifier.
  5. Analyse critique et limites du modèle : Dans la réalité, la compression n’est pas strictement réversible et s’accompagne d’un échauffement supérieur. Si la température réelle de sortie mesurée est T2,reˊel=510 KT_{2,\text{réel}} = 510\text{ K}, calculer la création d’entropie massique Δscreˊeˊe\Delta s_{\text{créée}} par seconde. Conclure sur la validité du modèle idéal.

III. Pistes et méthodologie

Section titled “III. Pistes et méthodologie”
  • Question 1 : Pensez à l’enthalpie massique hh et au travail technique wt=∫VdPw_t = \int V dP (ou travail des forces de pression hors forces de transvasement).
  • Question 2 & 3 : Utilisez l’isentropique (s=ctes = \text{cte}) pour les gaz parfaits. Attention aux unités : convertissez les débits massiques en kg⋅s−1\text{kg}\cdot\text{s}^{-1}.
  • Question 4 : Pour un système ouvert adiabatique réversible, que dire du flux d’entropie échangé ?
  • Question 5 : Exprimez le second principe pour le système ouvert en régime permanent : ΔSuniverse=Screˊeˊe>0\Delta S_{\text{universe}} = S_{\text{créée}} > 0.

IV. Corrigé pas à pas

Section titled “IV. Corrigé pas à pas”

1. Premier principe pour un système ouvert en régime permanent

Section titled “1. Premier principe pour un système ouvert en régime permanent”

Pour un système ouvert en régime permanent, le premier principe s’écrit sous la forme massique : Δh+ΔEc+ΔEp=q+wt\Delta h + \Delta E_c + \Delta E_p = q + w_t En négligeant les variations d’énergie cinétique et potentielle entre l’entrée (1) et la sortie (2), et pour une transformation adiabatique (q=0q = 0) : h2−h1=wth_2 - h_1 = w_t Où wtw_t représente le travail technique massique reçu par le fluide (wt=−∫VdPw_t = -\int V dP).

2. Température de sortie T2T_2

Section titled “2. Température de sortie T2T_2T2​”

La compression étant adiabatique et réversible (isentropique), la loi de Laplace s’applique aux gaz parfaits : T2=T1(P2P1)γ−1γT_2 = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} A.N. : T2=293×(5,01,0)0,41,4=293×(5)0,2857≈293×1,584≈464 KT_2 = 293 \times \left(\frac{5{,}0}{1{,}0}\right)^{\frac{0{,}4}{1{,}4}} = 293 \times (5)^{0{,}2857} \approx 293 \times 1{,}584 \approx 464\text{ K} (soit 191 ∘C191\,^{\circ}\text{C}).

3. Puissances mises en jeu

Section titled “3. Puissances mises en jeu”

Le gaz étant assimilé à un gaz parfait, h2−h1=cp(T2−T1)h_2 - h_1 = c_p(T_2 - T_1). Le travail technique massique est donc wt=cp(T2−T1)w_t = c_p(T_2 - T_1). La puissance mécanique reçue est Pmech=Dm⋅wt=Dm⋅cp(T2−T1)\mathcal{P}_{\text{mech}} = D_m \cdot w_t = D_m \cdot c_p (T_2 - T_1). A.N. : Pmech=0,50×1000×(464−293)=0,50×1000×171=85,5 kW\mathcal{P}_{\text{mech}} = 0{,}50 \times 1000 \times (464 - 293) = 0{,}50 \times 1000 \times 171 = 85{,}5\text{ kW}.

  • Discussion : Pmech>0\mathcal{P}_{\text{mech}} > 0, ce qui est cohérent car le compresseur fournit de l’énergie mécanique au gaz. La compression est un récepteur d’énergie. Par définition, le transfert thermique P1=0 W\mathcal{P}_1 = 0\text{ W} puisque la transformation est adiabatique.

4. Variation d’entropie

Section titled “4. Variation d’entropie”

Puisque la transformation est réversible et adiabatique, le système subit une transformation isentropique : Δs=s2−s1=0\Delta s = s_2 - s_1 = 0

  • Justification : C’était prévisible car toute transformation adiabatique réversible est par définition isentropique (ΔScreˊeˊe=0\Delta S_{\text{créée}} = 0).

5. Analyse critique et limites du modèle réel

Section titled “5. Analyse critique et limites du modèle réel”

Dans la réalité, la température de sortie est T2,reˊel=510 K>464 KT_{2,\text{réel}} = 510\text{ K} > 464\text{ K}. Appliquons le second principe (inégalité de Clausius) pour un système ouvert en régime permanent : Δs=s2,reˊel−s1=∫12dqT+screˊeˊe\Delta s = s_{2,\text{réel}} - s_1 = \int_1^2 \frac{dq}{T} + s_{\text{créée}} Puisque le compresseur est supposé adiabatique (dq=0dq = 0), on a : screˊeˊe=s2,reˊel−s1=cpln⁡(T2,reˊelT1)−Rmassiqueln⁡(P2P1)s_{\text{créée}} = s_{2,\text{réel}} - s_1 = c_p \ln\left(\frac{T_{2,\text{réel}}}{T_1}\right) - R_{\text{massique}} \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) Avec Rmassique=RM=8,31429×10−3≈287 J⋅kg−1⋅K−1R_{\text{massique}} = \frac{R}{M} = \frac{8{,}314}{29 \times 10^{-3}} \approx 287\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

A.N. : screˊeˊe=1000×ln⁡(510293)−287×ln⁡(51)s_{\text{créée}} = 1000 \times \ln\left(\frac{510}{293}\right) - 287 \times \ln\left(\frac{5}{1}\right) screˊeˊe=1000×0,554−287×1,609=554−461,8=92,2 J⋅kg−1⋅K−1s_{\text{créée}} = 1000 \times 0{,}554 - 287 \times 1{,}609 = 554 - 461{,}8 = 92{,}2\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

  • Analyse critique : On trouve screˊeˊe>0s_{\text{créée}} > 0, ce qui est conforme au second principe (irreversibilités dues aux frottements visqueux et aux turbulences internes). Le modèle idéal isentropique surestime l’efficacité du compresseur : la température réelle est plus élevée, ce qui entraîne une perte d’énergie sous forme de chaleur non souhaitée et nécessite une puissance mécanique réelle supérieure à celle calculée au modèle idéal.