Exercice 1 : Chaînes de Markov

Problème : Étude d’une chaîne de Markov à temps discret et application à la réduction de matrices

Matière : Mathématiques
Filière : BCPST
Thème : Réduction des endomorphismes et Probabilités (Chaînes de Markov)

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Introduction et motivations

Les chaînes de Markov modélisent des systèmes dynamiques dont l’évolution future ne dépend que de l’état présent et non du passé (propriété markovienne). En biologie et géologie (domaines phares de la filière BCPST), elles permettent par exemple de modéliser l’évolution de fréquences alléliques, la succession de faciès sédimentaires ou encore l’évolution de peuplements forestiers.

Ce problème propose d’étudier un modèle à trois états couplant l’outil probabiliste et l’algebre linéaire (diagonalisation, puissances de matrices).

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Énoncé du problème

On considère un système pouvant se trouver dans trois états notés $E_1$, $E_2$ et $E_3$. À chaque instant $n \in \mathbb{N}$, le système est décrit par un vecteur ligne de probabilité $V_n = (p_n^{(1)}, p_n^{(2)}, p_n^{(3)})$, où $p_n^{(i)}$ représente la probabilité que le système soit dans l’état $E_i$ à l’instant $n$. On a donc $p_n^{(1)} + p_n^{(2)} + p_n^{(3)} = 1$.

L’évolution du système est régie par la relation de récurrence : $V_{n+1} = V_n M$ où $M$ est la matrice de transition stochastique définie par :

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