Exercice 2 : Résistance des matériaux (RDM)

Problème Guidé : Dimensionnement d’un bras de levier de préhenseur industriel

Filière : PT
Matière : Sciences Industrielles de l’Ingénieur (SII)
Chapitre: ** Conception mécanique / Résistance des Matériaux (RDM)

Énoncé

Dans le cadre de l’automatisation d’une ligne d’emballage à haute cadence, on s’intéresse au bras de levier d’un préhenseur mécanique. Ce bras permet de serrer une charge utile cylindrique de masse $m$ .

Le bras est modélisé par une poutre rectangulaire de longueur $L$ , de largeur $b$ et de hauteur $h$ . Il est encastré dans un bâti rigide en $x = 0$ et soumis à l’extrémité $x = L$ à une force de serrage globale $\vec{F} = -F \vec{y}$ .

La figure ci-dessous schématise le problème :

Encastrement en $A$ (origine $x = 0$ ).
Application de la force $\vec{F}$ en $B$ ( $x = L$ ).
Section droite rectangulaire constante $S = b \times h$ .

Données numériques et caractéristiques du matériau :

Masse de la charge : $m = 50\text{ kg}$
Accélération de la pesanteur : $g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$
Coefficient de sécurité exigé : $s = 2{,}5$
Longueur du bras : $L = 250\text{ mm}$
Largeur de la section : $b = 30\text{ mm}$
Matériau choisi : Acier de construction (Limite d’élasticité $R_e = 235\text{ MPa}$ , Module de Young $E = 210\text{ GPa}$ )

Questions

Modélisation et Torseur de cohésion 1.1. Déterminer l’effort maximal $F$ exercé à l’extrémité $B$ du bras, sachant que le système dynamique maximal engendre une accélération équivalente à $2g$ sur la charge. 1.2. Isoler le tronçon de poutre situé entre une abscisse $x \in [0, L]$ et l’extrémité $B$ . Exprimer le torseur de cohésion $\{T_{\text{coh}}(x)\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R}_{\text{coh}}(x) \\ \vec{M}_{S,\text{coh}}(x) \end{array} \right\}_C$ au centre de surface $C$ de la section droite.
Sollicitations et Contraintes 2.1. Identifier la sollicitation simple ou composée subie par cette poutre. 2.2. Exprimer le moment fléchissant maximal $M_{fy,\text{max}}$ dans la poutre et préciser la section critique. 2.3. Rappeler l’expression de la contrainte normale maximale $\sigma_{\text{max}}$ due à la flexion en fonction de $M_{fy,\text{max}}$ et du module de flexion $I_G/v$ . Exprimer ce dernier en fonction de $b$ et $h$ .
Dimensionnement et Analyse critique 3.1. En appliquant la condition de résistance (critère de Tresca ou Von Mises adapté à la flexion pure), déterminer la hauteur minimale $h_{\text{min}}$ de la section pour respecter le coefficient de sécurité $s$ . 3.2. Analyse critique et limites du modèle : On choisit finalement une hauteur normalisée $h = 40\text{ mm}$ . * Calculer la flèche maximale (déplacement maximal selon $\vec{y}$ ) subie par l’extrémité du bras. * L’hypothèse des poutres (Bernoulli-Navier) et l’hypothèse des petits déplacements sont-elles rigoureusement validées ? Conclure sur la pertinence du modèle.

Pistes

Q1.1 : Pensez à appliquer le principe fondamental de la dynamique (ou statique ramenée au dynamique par le principe de d’Alembert) avec l’effort dynamique maximal.
Q1.2 : Le torseur de cohésion se calcule en coupant la poutre par la pensée et en écrivant l’équilibre du tronçon isolé. Attention au sens des efforts (convention des efforts intérieurs).
Q2.3 : Le moment quadratique d’un rectangle de base $b$ et de hauteur $h$ par rapport à son axe neutre est $I_{Gz} = \frac{b h^3}{12}$ .
Q3.2 : La flèche maximale d’une poutre en console soumise à une charge concentrée en bout est donnée par $y_{\text{max}} = \frac{F L^3}{3 E I_{Gz}}$ . Vérifiez le ratio $y_{\text{max}}/L$ .

Corrigé pas à pas

1. Modélisation et Torseur de cohésion

1.1. L’effort maximal de serrage intègre l’accélération dynamique : $F = m \cdot a_{\text{max}} = m \cdot (2g) = 50 \times (2 \times 9{,}81) = 981\text{ N}$

1.2. Pour une abscisse $x \in [0, L]$ , en coupant la poutre et en isolant la partie droite $x \in [x, L]$ soumise à $\vec{F} = -F \vec{y}$ en $x=L$ : L’équilibre statique du tronçon donne le torseur de cohésion au centre $C(x, 0, 0)$ :

Résultante : $\vec{R}_{\text{coh}} = +F \vec{y}$
Moment : $\vec{M}_{C,\text{coh}} = -\vec{CB} \wedge (-F \vec{y}) = -((L-x)\vec{x}) \wedge (-F \vec{y}) = -F(L-x)\vec{z}$

Soit le torseur : $\{T_{\text{coh}}(x)\} = \begin{cases} R_x = 0 & M_x = 0 \\ R_y = F & M_y = 0 \\ R_z = 0 & M_z = -F(L-x) \end{cases}_C$

2. Sollicitations et Contraintes

2.1. Le torseur se réduit à un effort tranchant $R_y$ et un moment fléchissant $M_z$ . Néanmoins, face aux dimensions usuelles des poutres en flexion simple, l’effort tranchant a un impact négligeable sur les contraintes normales maximales devant le moment fléchissant. La sollicitation prépondérante est la flexion plane pure.

2.2. Le moment fléchissant en valeur absolue est maximal là où son expression est la plus grande, c’est-à-dire à l’encastrement ( $x = 0$ ) : $M_{fy,\text{max}} = |M_z(0)| = F \cdot L = 981 \times 0{,}250 = 245{,}25\text{ N}\cdot\text{m}$

2.3. La contrainte normale maximale s’exprime par : $\sigma_{\text{max}} = \frac{M_{fy,\text{max}}}{I_{Gz} / (h/2)} = \frac{M_{fy,\text{max}}}{I_G/v}$ Le module de flexion pour une section rectangulaire $b \times h$ est : $\frac{I_{Gz}}{v} = \frac{\frac{b h^3}{12}}{\frac{h}{2}} = \frac{b h^2}{6}$ D’où : $\sigma_{\text{max}} = \frac{6 F L}{b h^2}$

3. Dimensionnement et Analyse critique

3.1. La condition de résistance élastique avec un coefficient de sécurité $s$ s’écrit : $\sigma_{\text{max}} \le \sigma_{adm} \quad \text{avec} \quad \sigma_{adm} = \frac{R_e}{s}$ $\frac{6 F L}{b h^2} \le \frac{R_e}{s} \implies h^2 \ge \frac{6 F L s}{b R_e}$ Application numérique :

$6 F L s = 6 \times 981 \times 0{,}250 \times 2{,}5 = 3678{,}75\text{ N}\cdot\text{m}$
$b R_e = 0{,}030\text{ m} \times (235 \times 10^6\text{ Pa}) = 7{,}05 \times 10^6\text{ N/m}$
$h^2 \ge \frac{3678{,}75}{7{,}05 \times 10^6} \approx 5{,}218 \times 10^{-4}\text{ m}^2$
$h_{\text{min}} = \sqrt{5{,}218 \times 10^{-4}} \approx 0{,}0228\text{ m} = 22{,}8\text{ mm}$

3.2. Analyse critique et limites du modèle :

On choisit $h = 40\text{ mm}$ (ce qui est supérieur à $22{,}8\text{ mm}$ et standard en profil).
Calcul du moment quadratique $I_{Gz}$ : $I_{Gz} = \frac{0{,}030 \times (0{,}040)^3}{12} = 1{,}6 \times 10^{-7}\text{ m}^4$
Calcul de la flèche maximale à l’extrémité $B$ : $y_{\text{max}} = \frac{F L^3}{3 E I_{Gz}} = \frac{981 \times (0{,}250)^3}{3 \times (210 \times 10^9) \times (1{,}6 \times 10^{-7})} = \frac{981 \times 0{,}015625}{100800} \approx 1{,}52 \times 10^{-4}\text{ m} = 0{,}152\text{ mm}$
Vérification des hypothèses :
1. Petits déplacements : $y_{\text{max}} = 0{,}152\text{ mm}$ pour $L = 250\text{ mm}$ . Le rapport $\frac{y_{\text{max}}}{L} \approx 6 \times 10^{-4} \ll 1$ . L’hypothèse des petits déplacements est parfaitement validée.
2. Hypothèse de Navier-Bernoulli (élancement) : Le rapport $\frac{L}{h} = \frac{250}{40} = 6{,}25$ . Or, le modèle des poutres requiert généralement un élancement $\frac{L}{h} > 10$ . Ici, $6{,}25$ est un peu faible : les effets du cisaillement transverse (négligés par Bernoulli) commencent à devenir non négligeables (effet Timoshenko). Le modèle sous-estime légèrement la déflexion réelle, bien que le dimensionnement en contrainte reste acceptable vu le coefficient de sécurité choisi ( $s = 2{,}5$ ).