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CPGE Futur

Exercice 2 : Spin et fermions/bosons

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Étude de cas”

La physique statistique quantique distingue deux grandes classes de particules fondamentales en fonction de leur spin : les bosons (spin entier) et les fermions (spin demi-entier). À basse température, ces statistiques conduisent à des comportements macroscopiques radicalement différents, illustrés par le gaz d’électrons libres dans les métaux (modèle de Sommerfeld) et la condensation de Bose-Einstein dans les gaz ultracroids.

Ce problème se propose d’étudier l’impact de la nature fermionique des électrons sur les propriétés thermodynamiques d’un métal alcalin (le potassium K\text{K}) à basse température, puis d’aborder la modélisation simplifiée d’un gaz de bosons piégés par un potentiel harmonique.

Données numériques et constantes physiques utiles :

  • Constante de Planck réduite : ℏ≈1,05×10−34 J⋅s\hbar \approx 1{,}05 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}
  • Masse de l’électron : me≈9,11×10−31 kgm_e \approx 9{,}11 \times 10^{-31} \, \text{kg}
  • Constante de Boltzmann : kB≈1,38×10−23 J⋅K−1k_B \approx 1{,}38 \times 10^{-23} \, \text{J}\cdot\text{K}^{-1}
  • Charge élémentaire : e≈1,60×10−19 Ce \approx 1{,}60 \times 10^{-19} \, \text{C}
  • Température ambiante : T0=300 KT_0 = 300 \, \text{K}
  • Masse volumique du potassium : ρK≈862 kg⋅m−3\rho_{\text{K}} \approx 862 \, \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}
  • Masse molaire du potassium : MK≈39,1 g⋅mol−1M_{\text{K}} \approx 39{,}1 \, \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}
  • Nombre d’Avogadro : NA≈6,02×1023 mol−1N_A \approx 6{,}02 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

Partie I : Gaz d’électrons libres dans un métal (Fermions)

Section titled “Partie I : Gaz d’électrons libres dans un métal (Fermions)”

On modélise un bloc de potassium métallique de volume VV comme un gaz quantique d’électrons libres indépendants confiné dans VV. Chaque atome de potassium libère un électron dans la bande de conduction.

  1. Calcul de la densité volumique Exprimer puis calculer la densité volumique n=NVn = \frac{N}{V} d’électrons de conduction dans le potassium. On négligera l’effet du réseau cristallin des ions (approximation des électrons libres).

  2. États quantiques et place de spin Rappeler la valeur du spin ss de l’électron et la multiplicité gg des états de spin associés. Dans l’espace des phases (ou espace des vecteurs d’onde k⃗\vec{k}), quel est le volume élémentaire associé à un état quantique dans une boîte de volume VV ?

  3. Énergie de Fermi En déduire l’expression de la sphère de Fermi dans l’espace des k⃗\vec{k} à T=0 KT = 0 \, \text{K} et relier le nombre total d’électrons NN au module du vecteur d’onde de Fermi kFk_F. En déduire l’expression de l’énergie de Fermi EF=ℏ2kF22meE_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2 m_e} en fonction de nn. Calculer sa valeur numérique en joules puis en électronvolts (eV\text{eV}).

  4. Température de Fermi et analyse critique du modèle On définit la température de Fermi TFT_F par kBTF=EFk_B T_F = E_F. Calculer TFT_F pour le potassium. En comparant TFT_F à la température ambiante T0=300 KT_0 = 300 \, \text{K}, justifiez pourquoi l’approximation de gaz d’électrons à T=0 KT = 0 \, \text{K} (ou T≪TFT \ll T_F) est pertinente pour étudier les propriétés électroniques des métaux à température ambiante. Discutez brièvement des limites de l’approximation des électrons libres (interactions électron-électron et potentiel du réseau).

Partie II : Approche macroscopique des bosons et condensation

Section titled “Partie II : Approche macroscopique des bosons et condensation”

On s’intéresse désormais à un gaz parfait de NN bosons (par exemple des atomes de rubidium 87Rb{}^{87}\text{Rb}, qui possèdent un spin total entier) de masse mm, piégé dans un potentiel harmonique tridimensionnel isotrope : En=(nx+ny+nz+32)ℏωE_n = \left(n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2}\right)\hbar \omega où nx,ny,nz∈Nn_x, n_y, n_z \in \mathbb{N} et ω\omega est la pulsation du piège.

  1. Niveau fondamental et occupation Écrire l’énergie du niveau fondamental du piège. À très basse température, les bosons ont tendance à s’accumuler massivement dans ce niveau fondamental : c’est la condensation de Bose-Einstein. Expliquer qualitativement pourquoi ce comportement est strictement interdit pour les électrons (fermions) en vertu du principe d’exclusion de Pauli.

💡 Pistes & Indications

Section titled “💡 Pistes & Indications”
  • Q1 : Utilisez la masse molaire et la masse volumique pour obtenir le nombre d’atomes par unité de volume, puis reliez-le à la valence du potassium.
  • Q2 : Le spin de l’électron est s=1/2s = 1/2. La dégénérescence de spin est g=2s+1=2g = 2s + 1 = 2. Dans l’espace des kk, un état occupe un volume (2πL)3\left(\frac{2\pi}{L}\right)^3 avec V=L3V = L^3.
  • Q3 : Intégrez la densité d’états dans l’espace des phases pour k∈[0,kF]k \in [0, k_F]. Attention au facteur de spin 22.
  • Q4 : Calculez TF=EF/kBT_F = E_F / k_B. Comparez avec 300 K300 \, \text{K}. Pour l’analyse critique, pensez au fait que les électrons réels subissent le potentiel périodique des ions (bandes d’énergie) et des forces coulombiennes.
  • Q5 : Le principe de Pauli interdit à deux fermions identiques d’occuper le même état quantique, contrairement aux bosons qui n’ont aucune restriction de cohabitation macroscopique.

📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

Section titled “📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats”

Partie I : Gaz d’électrons libres dans un métal (Fermions)

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  1. Densité volumique nn : Le nombre d’moles par unité de volume (concentration molaire) est : cm=ρKMKc_m = \frac{\rho_{\text{K}}}{M_{\text{K}}} Le nombre d’électrons par unité de volume est n=NA⋅cm=NAρKMKn = N_A \cdot c_m = \frac{N_A \rho_{\text{K}}}{M_{\text{K}}}. A.N. : n=6,02×1023×86239,1×10−3≈1,33×1028 m−3n = \frac{6{,}02 \times 10^{23} \times 862}{39{,}1 \times 10^{-3}} \approx 1{,}33 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3}

  2. Dégénérescence de spin et volume élémentaire : L’électron est un fermion de spin s=1/2s = 1/2. Le nombre d’états de spin possibles est g=2s+1=2g = 2s + 1 = 2 (états “spin up” et “spin down”). Dans une boîte cubique de volume V=L3V = L^3, les composantes du vecteur d’onde k⃗=(kx,ky,kz)\vec{k} = (k_x, k_y, k_z) sont quantifiées par les conditions aux limites périodiques : kx=2πnxL,ky=2πnyL,kz=2πnzL(ni∈Z)k_x = \frac{2\pi n_x}{L}, \quad k_y = \frac{2\pi n_y}{L}, \quad k_z = \frac{2\pi n_z}{L} \quad (n_i \in \mathbb{Z}) Le volume élémentaire associé à un état dans l’espace des k⃗\vec{k} est donc ΔkxΔkyΔkz=(2πL)3=(2π)3V\Delta k_x \Delta k_y \Delta k_z = \left(\frac{2\pi}{L}\right)^3 = \frac{(2\pi)^3}{V}.

  3. Énergie de Fermi EFE_F : À T=0 KT = 0 \, \text{K}, les électrons remplissent tous les états d’énergie croissante jusqu’à une énergie maximale, l’énergie de Fermi EFE_F, ce qui correspond dans l’espace des k⃗\vec{k} à une sphère de rayon kFk_F (sphère de Fermi). Le nombre total d’électrons NN s’obtient en intégrant le nombre d’états disponibles en tenant compte de la dégénérescence de spin : N=2×V(2π)3×∭spheˋre de rayon kFd3k⃗=2×V(2π)3×4π3kF3N = 2 \times \frac{V}{(2\pi)^3} \times \iiint_{\text{sphère de rayon } k_F} d^3\vec{k} = 2 \times \frac{V}{(2\pi)^3} \times \frac{4\pi}{3} k_F^3 N=V3π2kF3  ⟹  kF=(3π2n)1/3N = \frac{V}{3\pi^2} k_F^3 \implies k_F = (3\pi^2 n)^{1/3} L’énergie de Fermi vaut : EF=ℏ2kF22me=ℏ22me(3π2n)2/3E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2 m_e} = \frac{\hbar^2}{2 m_e} (3\pi^2 n)^{2/3} A.N. :

    • Calcul de kFk_F : kF=(3×π2×1,33×1028)1/3≈1,34×1010 m−1k_F = \left(3 \times \pi^2 \times 1{,}33 \times 10^{28}\right)^{1/3} \approx 1{,}34 \times 10^{10} \, \text{m}^{-1}
    • Calcul de EFE_F en Joules : EF=(1,05×10−34)2×(1,34×1010)22×9,11×10−31≈3,38×10−19 JE_F = \frac{(1{,}05 \times 10^{-34})^2 \times (1{,}34 \times 10^{10})^2}{2 \times 9{,}11 \times 10^{-31}} \approx 3{,}38 \times 10^{-19} \, \text{J}
    • Conversion en eV\text{eV} : EF=3,38×10−191,60×10−19≈2,11 eVE_F = \frac{3{,}38 \times 10^{-19}}{1{,}60 \times 10^{-19}} \approx 2{,}11 \, \text{eV}

  4. Température de Fermi et analyse critique : La température de Fermi est : TF=EFkB=3,38×10−191,38×10−23≈2,45×104 KT_F = \frac{E_F}{k_B} = \frac{3{,}38 \times 10^{-19}}{1{,}38 \times 10^{-23}} \approx 2{,}45 \times 10^4 \, \text{K} Analyse critique : On constate que T0=300 K≪TF≈24500 KT_0 = 300 \, \text{K} \ll T_F \approx 24500 \, \text{K}. Le rapport T0TF≈0,012\frac{T_0}{T_F} \approx 0{,}012 est très petit. Cela valide rigoureusement l’hypothèse selon laquelle le gaz d’électrons se comporte, à température ambiante, comme s’il était à une température voisine du zéro absolu (les excitations thermiques ne concernent qu’une infime fraction des électrons situés au voisinage immédiat de la surface de Fermi). Limites du modèle : L’approximation des électrons libres néglige les interactions électrostatiques entre les électrons (répulsion coulombienne) et l’influence du potentiel périodique créé par les noyaux ioniques du réseau cristallin. Pour aller plus loin (modèle des électrons presqu’libres, bandes d’énergie), il conviendrait d’introduire le théorème de Bloch, qui explique notamment la distinction physique entre métaux, isolants et semi-conducteurs.

Partie II : Approche macroscopique des bosons et condensation

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  1. Niveau fondamental et principe de Pauli : L’énergie du niveau fondamental du piège harmonique 3D est : E0=32ℏωE_0 = \frac{3}{2} \hbar \omega Les bosons obéissent à la statistique de Bose-Einstein : ils n’ont aucune restriction sur le nombre de particules pouvant occuper un même état quantique. Lorsque la température décroît en deçà d’une température critique, une fraction macroscopique du nombre total de bosons NN s’accumule directement dans cet unique état fondamental d’énergie 32ℏω\frac{3}{2}\hbar\omega.

    En revanche, les électrons sont des fermions et obéissent au principe d’exclusion de Pauli : deux électrons (ou plus) ne peuvent pas se trouver simultanément dans le même état quantique (caractérisé par les mêmes nombres quantiques spatiaux et de spin). Par conséquent, même à T=0 KT = 0 \, \text{K}, les électrons sont contraints de remplir progressivement tous les niveaux d’énergie disponibles un à un, formant la mer de Fermi décrite en Partie I, interdisant toute condensation massive dans l’état fondamental unique.